Учится легким испугом. Математика. ДВИ. Олимпиады. ЕГЭ

Можно ли в кубе сделать сквозную дыру и протащить сквозь нее точно такой же куб?

Нет? Не правда. Через куб протащить такой же куб можно легко. Более того, через этот тоннель пройдёт куб со стороной чуть большей (почти на 6% больше).

В чём секрет?

Смотрим на куб прямо — видим квадрат. Сделать в нём такое отверстие невозможно.

Поворачиваем куб и смотрим вдоль его главной диагонали — проекция превращается в правильный шестиугольник.

Площадь этой «тени» настолько большая, что внутри неё спокойно помещается квадрат, превосходящий грань исходного куба. Прорубаем тоннель вдоль диагонали — и рёбра остаются целыми, и куб пролезает!

Этот феномен в XVII веке доказал принц Руперт. А позже выяснилось, что сквозь себя могут проходить и другие платоновы тела: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр.

Задача на вечер: когда простые числа становятся интересными

Мне сегодня сказали, что простые числа — это не наука. Знатно я посмеялась. И вот вам задача для развлечения.

Дано:

Пять разных простых чисел на доске

Вася сложил три — вышло 100

Петя сложил четыре — вышло 1000

Вопрос: сумма всех пяти?

💡 Подсказка: думайте о чётных и нечётных. И вспомните — среди простых чисел есть одно особенное.

Пишите в комментарии, что получилось! Решение как обычно будет позже.

А вот и ответ на задачу про числа на доске.
Правильный ответ — нужно стереть минимум 4 числа (например: 1, 2, 5, 8).
И это можно доказать красиво и строго.
Сведём комбинаторную задачу к геометрии и всем известной игре в «Крестики-нолики» 3×3!
Заполним квадрат 3×3 числами от 1 до 9 так, чтобы получился классический магический квадрат.
2 9 4
7 5 3
6 1 8
Свойство этого квадрата в том, что сумма чисел в любой строке, столбце и на обеих диагоналях равна 15. Это ровно 8 исключаемых нами троек. Помним, что у нас есть ещё и число 10. С ним можно составить ещё 2 тройки с суммой 15:
10 + 1 + 4 = 15
10 + 2 + 3 = 15
Итого на доске прячутся 10 различных троек, дающих в сумме 15. Теперь надо проверить почему 3 чисел не хватит.
Каждое стираемое число разрушает только те тройки, в которые оно входит:
Число 5 входит в 4 линии квадрата (максимум!).
Угловые числа (2, 4, 6, 8) входят в 3 линии.
Остальные числа — всего в 2 линии.
Даже если мы зачеркнём самое «выгодное» число 5 (уберёт 4 тройки) и два угловых числа (каждое уберёт ещё по 3 тройки), мы чисто физически сможем перекрыть не более 4 + 3 + 3 = 10 комбинаций. Но при таком наборе гарантированно останутся нетронутыми тройки с числом 10.
А вот 4 чисел гарантированно хватает.
Если мы зачеркнём 1, 2, 5, 8.
Пятёрка и восьмёрка разрушат все линии магического квадрата.
Единица и двойка заблокируют комбинации с числом 10 (10+1+4 и 10+2+3).
Вот так, через комбинаторику и магический квадрат, мы получаем строгий ответ без огромного необоснованного перебора.

Еще одна задача про красоту математики, логики и внимательности. Представьте, что на доске в один ряд записаны натуральные числа от 1 до 10: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Задача: стереть как можно МЕНЬШЕ чисел так, чтобы среди оставшихся на доске было абсолютно невозможно выбрать любые три числа, дающие в сумме ровно 15.

(Например, если вы оставите числа 1, 5 и 9, то 1 + 5 + 9 = 15, а значит, такой вариант не подходит — нужно стирать какие-то числа дальше).

Какое наименьшее количество чисел придётся стереть?

Пишите свои ответы и ход мыслей в комментариях! А разгадку с красивым доказательством выложу позже.

ЗАДАЧА НА НОБЕЛЕВСКУЮ ПРЕМИЮ
Представьте житейскую ситуацию: четыре друга решили построить общую гоночную трассу. Требования к ней у всех разные т.к. автомобили разные:
Диме достаточно базы за 40 монет.
Косте нужна трасса за 100 монет.
Боре подавай трек за 120 монет.
Артёму — мега-трассу за 200 монет.

Ребята решили построить одну общую трассу за 200 монет, подходящую для всех. Но как справедливо разделить расходы?

Вариант Артёма (пропорционально):Артём — 87 монет, Боря — 52, Костя — 43, Дима — 18.

Дима против: «Если бы мы построили трассу за 40 монет под мою машинку, я бы заплатил всего 10! Почему я должен отдавать 18 из-за дорогих хотелок Артёма?»

Внимание, вопрос: Как разделить 200 монет математически безупречно и честно для каждого?

Разгадку и метод лауреата Нобелевской премии Ллойда Шепли выложу позже

Лето закончилось, по крайней мере, календарное. Готовы?

К новому учебному году готова: приложение app.lite-math.ru серьезно доработала, добавила туда доску с возможностью ведения как индивидуальных, так и групповых занятий. Работает расписание с самозаписью учеников. Выдаю каждому личную ссылку, ученик видит свободные слоты, выбирает удобное время и записывается без заполнения формы. Система сразу ставит его в расписание, а мне прилетает уведомление. Вчера многие мои ученики уже забронировали время.

А ещё добавила демоверсию кабинета, в ней можно посмотреть подробнее функции app.lite-math.ru. Приглашаю на экскурсию.

А вот и первые анонсированные изменения в ЕГЭ по математике. Производные заменили статистикой и во вторую часть добавили ещё одну текстовую задачу.
Скоро начнут появляться подробности, но год обещает быть интересным.

Как вам перспектива?

На старт, внимание! Скоро школа.
Набираю группу для олимпиадной подготовки и подготовки к ЕГЭ. Записывайтесь на собеседование, познакомимся, определимся с целями, начнем готовиться. Этот год будет жарким. https://app.lite-math.ru/book/qgqie6ewte5s

А, теперь все понятно, почему это задание оказалось самым решаемым на этой неделе. Приемная кампания в вузы подходит к завершению и в этом году там творится что-то невообразимое. Конкурс на контракт (на платное отделение) такой, как в прошлом году на бюджет. Баллы дикие