А вот и ответ на задачу про числа на доске.

Правильный ответ — нужно стереть минимум 4 числа (например: 1, 2, 5, 8).
И это можно доказать красиво и строго.
Сведём комбинаторную задачу к геометрии и всем известной игре в «Крестики-нолики» 3×3!
Заполним квадрат 3×3 числами от 1 до 9 так, чтобы получился классический магический квадрат.
2 9 4
7 5 3
6 1 8
Свойство этого квадрата в том, что сумма чисел в любой строке, столбце и на обеих диагоналях равна 15. Это ровно 8 исключаемых нами троек. Помним, что у нас есть ещё и число 10. С ним можно составить ещё 2 тройки с суммой 15:
10 + 1 + 4 = 15
10 + 2 + 3 = 15
Итого на доске прячутся 10 различных троек, дающих в сумме 15. Теперь надо проверить почему 3 чисел не хватит.
Каждое стираемое число разрушает только те тройки, в которые оно входит:
Число 5 входит в 4 линии квадрата (максимум!).
Угловые числа (2, 4, 6, 8) входят в 3 линии.
Остальные числа — всего в 2 линии.
Даже если мы зачеркнём самое «выгодное» число 5 (уберёт 4 тройки) и два угловых числа (каждое уберёт ещё по 3 тройки), мы чисто физически сможем перекрыть не более 4 + 3 + 3 = 10 комбинаций. Но при таком наборе гарантированно останутся нетронутыми тройки с числом 10.
А вот 4 чисел гарантированно хватает.
Если мы зачеркнём 1, 2, 5, 8.
Пятёрка и восьмёрка разрушат все линии магического квадрата.
Единица и двойка заблокируют комбинации с числом 10 (10+1+4 и 10+2+3).
Вот так, через комбинаторику и магический квадрат, мы получаем строгий ответ без огромного необоснованного перебора.