Новое Распределяем каналы MAX по категориям и территориям. Читать новость
Аналитика MAXканалы, чаты и посты

Аналитика

MAX
Сборщики информацииbrain-pro.ru Маркировка иноагентовagent-mark.ru
Открытый канал ID 71420984872390

Математика с Александром Сергеевичем

Здесь публикуются различные математические задачи (как правило кружковские или олимпиадные, но не только), которые кажутся мне чем-то интересными, и разбираются их решения. Кроме того, здесь я собираю новости кружков и олимпиад. Добро пожаловать!

Образование и обучение
Каналов в рубрике
101 367
Место этого канала
№ 50 860
Открыть рубрику →
Открыть в MAX

Публикации за период

По реакциям

Поиск и вся лента — после бесплатной регистрации. Свои даты — по подписке; владелец канала видит их бесплатно. Сортировка по реакциям — по подписке. Зарегистрироваться

Загрузка…

#Задача про ещё одну игру — фото, канал «Математика с Александром Сергеевичем»
#Задача про ещё одну игру:

На доске написаны натуральные числа от 1 до 100. Играют двое. Первым ходом стирают любое число, каждым следующим — одно из оставшихся чисел, которое делится на последнее стёртое или является его делителем. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
24
Перейти в пост Открыть в MAX Сообщить о неточности
#Решение позавчерашней задачи:

Пусть F(k) - максимум чисел, среди которых можно гарантированно угадать число за k попыток, если ответа «много» ещё ни разу не было.

Первый ход. Если Вася назовёт число m, то после ответа «много» все нижние числа придётся перебирать по возрастанию. Их m-1. Значит, потребуется m-1 попытка. Значит, чтобы уложиться в k вопросов, первым ходом нельзя называть больше k. Если же мы получим ответ «мало», то сверху остаётся задача с k−1 попыткой, то есть можно покрыть F(k−1) чисел.

Получаем, что F(k) ≤ k + F(k−1).
Эта оценка достигается, если первым ходом называть k-тое число снизу; при ответе «много» перебирая нижние числа по возрастанию; при ответе «мало» продолжая ту же стратегию, начиная с k+1.

Отсюда имеем, что F(k) = 1 + 2 + ... + k = k(k+1)/2.

Считаем:
F(63) = 63·64/2 = 2016 < 2026,
F(64) = 64·65/2 = 2080 ≥ 2026.

Значит, 63 попыток может не хватить, а вот 64 уже достаточно. Тем более хватит 100.

✅ Ответ: а) да; б) минимально нужно 64 попытки.
20
Перейти в пост Открыть в MAX Сообщить о неточности
#Задача про игру в числа — фото, канал «Математика с Александром Сергеевичем»
#Задача про игру в числа:

Петя загадал целое число от 1 до 2026. Вася пытается угадать его, называя целые числа и получая честный ответ: «мало», «много» или «верно». После второго ответа «много» Вася проигрывает.
а) Можно ли гарантированно угадать число за 100 попыток?
б) А за какое наименьшее число попыток можно гарантированно угадать число?
37
Перейти в пост Открыть в MAX Сообщить о неточности
#Решение задачи на выходные:

Заметим, что счастливой обезьяне мы не можем дать больше одного мандарина, поэтому каждая из них получает хотя бы два немандарина (то есть два фрукта из набора груша, банан, персик). Груш, бананов и персиков у нас всего 20+30+40=90, значит получится осчастливить не более 45 обезьян (если бы их было хотя бы 46, то они получили бы не менее 92 немандаринов, а у нас столько попросту нет).
Пример, в котором осчастливлены ровно 45 обезьян, строится несложно: во-первых, каждой дадим по мандарину, а дальше 5 обезьянам дадим грушу и персик, 15 - грушу и банан, 25 - банан и персик. Все условия выполнятся.
41
Перейти в пост Открыть в MAX Сообщить о неточности
Классическая #задача на выходные — фото, канал «Математика с Александром Сергеевичем»
Классическая #задача на выходные:

Обезьяна становится счастливой, когда съедает три разных фрукта. Какое наибольшее количество обезьян можно осчастливить, имея 20 груш, 30 бананов, 40 персиков и 50 мандаринов?
57
Перейти в пост Открыть в MAX Сообщить о неточности
#Решение позавчерашней задачи:

Пронумеруем гири слева направо. Взвесим сначала первую и третью гири, а затем – первую и четвёртую. Рассмотрим возможные результаты этих взвешиваний. Заметим, что хотя бы одна из гирь, участвующих в первом взвешивании, имеет массу 20 г. Тогда возможны три случая показания весов при первом взвешивании.
1) Весы показали 40 г. Значит, гири с номерами 1, 2 и 3 весят по 20 г, а гири с номерами 4 и 5 – 19 г и 21 г (в каком-то порядке). Тогда вторым взвешиванием этот порядок определится.
2) Весы показали 41 г. Значит, гири с номерами 1 и 3 весят 20 г и 21 г (в каком-то порядке). При втором взвешивании: если получим 41 г, то гиря №1 весит 21 г, а гиря №2, лежащая рядом, – 19 г; если получим 40 г, то первая и четвёртая гири весят по 20 г, тогда гиря №3 весит 21 г, а гиря №2 – 19 г; если получим 39 г, то гиря №4 весит 19 г, гиря №3 – 21 г.
3) Весы показали 39 г. Значит, гири с номерами 1 и 3 весят 20 г и 19 г (в каком-то порядке). При втором взвешивании: если получим 41 г, то гиря №4 весит 21 г, тогда гиря №3 – 19 г; если получим 40 г, то гири с номерами 1 и 4 весят по 20 г, значит гиря №3 весит 19 г, а гиря №2 – 21 г; если получим 39 г, то гиря №1 весит 19 г, а гиря №2 – 21 г.
53
Перейти в пост Открыть в MAX Сообщить о неточности
#Задача про гири, в которой школьники талантливо обманули меня и… — фото, канал «Математика с Александром Сергеевичем»
#Задача про гири, в которой школьники талантливо обманули меня и моего ассистента вчера на кружке:

Перед Петей выставили в ряд пять гирь. Ему известно, что это гири массами 19, 20, 20, 20 и 21 граммов, стоящие в каком-то порядке, при этом гири массами 19 граммов и 21 грамм стоят рядом. У Пети есть электронные весы, которые показывают массу положенного на них груза. Помогите Пете за два взвешивания определить массу каждой гири.

NB: Нет ничего страшного в том, чтобы время от времени принимать у кружковцев правдоподобную лажу. Главное, чтобы это:
а) выяснялось на разборе;
б) не становилось слишком часто.
55
Перейти в пост Открыть в MAX Сообщить о неточности
#Решение позавчерашней задачи:

Посмотрим на числа 4, 6 и 8. Любые два из них должны быть разного цвета (4 и 8 отличаются в два раза, а 4 от 6 и 6 от 8 - на 2), поэтому определённо потребуется не менее трёх цветов.
Теперь докажем, что трёх цветов достаточно. Покрасим 1 и 2 в разные цвета. Начиная с 3 будем действовать следующим образом:
- если очередное число n нечётно, то оно должно отличаться по цвету лишь от n-2 - выберем любой из двух цветов, отличающихся от цвета числа n-2;
- если n чётно, то оно отличается по цвету от n-2 и n/2. Даже если это два различных числа и они разного цвета - хотя бы один свободный цвет для n у нас остаётся, в него и красим.
Действуя таким образом, мы сможем покрасить в три цвета все натуральные числа, значит трёх цветов достаточно.
48
Перейти в пост Открыть в MAX Сообщить о неточности
#Задача про раскрашивание натуральных чисел — фото, канал «Математика с Александром Сергеевичем»
#Задача про раскрашивание натуральных чисел:

В какое наименьшее количество цветов можно покрасить натуральные числа так, чтобы любые два числа, отличающиеся на 2 или в два раза, были покрашены в разные цвета?
58
Перейти в пост Открыть в MAX Сообщить о неточности
#Решение задачи на выходные:

Приведём контрпример: пусть 17 человек хотят ходить только на математику, а остальные 10 - на пение и чтение стихов.
Тогда на каждый кружок хотят ходить более трети учащихся (не менее 10 из 27), но если в кружке по математике всего 9 мест, то 8 ребят, которые хотят заниматься математикой, туда не попадут.

Как же хорошо, что у нас в кружках мест побольше - и практически всех желающих мы туда можем взять!
52
Перейти в пост Открыть в MAX Сообщить о неточности
Вся лента — после бесплатной регистрации
ВКонтакте Телеграм Одноклассники
Избранное в datool.ru

Следите за каналом в личном кабинете

Зарегистрируйтесь в datool.ru, чтобы добавить канал «Математика с Александром Сергеевичем» в избранное и отслеживать его показатели.

Зарегистрироваться Для владельцев каналов

Подтвердите свой канал

Войдите или зарегистрируйтесь в datool.ru, затем добавьте нашего бота в канал по инструкции в личном кабинете. После проверки владения замок исчезнет и вам станет доступно управление каналом.

Войти или зарегистрироваться

Сообщить о неточности

Опишите, что нужно исправить. Если есть источник, добавьте ссылку.

Вы покидаете datool.ru

Ссылка ведёт на внешний сайт. datool.ru не отвечает за его содержимое — проверьте адрес, прежде чем вводить пароли или платёжные данные.

Переход через 10 с

Перейти