Репетитор по математике | ОГЭ и ЕГЭ | Ларион Лушников

Задача недели: делимость чисел

Иногда для решения задачи не нужны сложные вычисления. Достаточно заметить закономерность и правильно применить свойства чисел. Попробуй решить такую задачу самостоятельно, прежде чем читать решение.

🧩 Задача

Докажи, что произведение трёх последовательных целых чисел всегда делится на 6.

Например, 4 · 5 · 6 = 120, и 120 делится на 6. Но как доказать, что это верно для любых трёх последовательных целых чисел?

🔎 Решение

Для решения этой задачи потребуются знания некоторых свойств чисел. Обозначим три последовательных целых числа так: n, n + 1 и n + 2.

Их произведение равно:
n · (n + 1) · (n + 2).

Разберёмся, почему оно обязательно делится на 6.

1️⃣ Произведение делится на 2.

Среди любых двух последовательных целых чисел одно обязательно чётное. Значит, среди трёх последовательных чисел точно есть чётное число. Поэтому всё произведение делится на 2.

2️⃣ Произведение делится на 3.

Среди любых трёх последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3. Например, среди чисел 7, 8, 9 на 3 делится 9, а среди 10, 11, 12 — это 12.
Значит, произведение делится на 3.

3️⃣ Объединим результаты.

Произведение делится и на 2, и на 3. Поскольку эти числа взаимно просты, произведение обязательно делится на 2 · 3 = 6.

Ответ: произведение любых трёх последовательных целых чисел делится на 6.

💡 Что здесь важно?

Мы не перебирали все возможные числа и не проверяли десятки примеров — ведь их количество бесконечно. Вместо этого использовали свойства последовательных целых чисел и доказали утверждение сразу для всех случаев.

Попробуйте теперь самостоятельно доказать, что произведение любых четырёх последовательных целых чисел делится на 24. Получится ли обойтись без подбора конкретных чисел?

Такие задачи развивают логическое мышление и учат обосновывать свои выводы. Именно этот навык помогает не только в школьной математике, но и при решении некоторых типов заданий на ОГЭ и ЕГЭ.

Ошибка недели: неверное раскрытие модуля

Модуль — одна из тех тем школьной математики, которые у многих учеников вызывают опасение. Вертикальные черточки вокруг выражения, необходимость учитывать знак, несколько случаев при решении уравнений — и вот уже простое на первый взгляд задание кажется запутанным.

Частая ошибка возникает, когда ученик пытается просто убрать черточки, забывая, что модуль связан с расстоянием от числа до нуля, а его значение всегда неотрицательно.

Достаточно осознать этот смысл модуля, как половина ошибок исчезнет волшебным образом:

ведь расстояние не может быть отрицательным, оно принимает положительные значения в любом направлении.

🔎 Разберём пример.

Пусть нужно раскрыть модуль в выражении |x − 5|.

Иногда ученик сразу записывает:
|x − 5| = x − 5

Но это верно только тогда, когда x − 5 ≥ 0, то есть x ≥ 5.

Если x меньше 5, выражение внутри модуля отрицательное, и тогда знак нужно изменить (держим в уме знание про расстояние, которое может быть только положительным):
|x − 5| = 5 − x.

Получается, правильная запись зависит от значения переменной:

• при x ≥ 5: |x − 5| = x − 5;
• при x < 5: |x − 5| = 5 − x.

💡 Как не допустить ошибку?

Перед раскрытием модуля посмотри на выражение внутри вертикальных черточек и выясни, когда оно положительное или равно нулю, а когда отрицательное. Если знак зависит от переменной, нужно рассмотреть соответствующие случаи.

Например, если x = 7, то |7 − 5| = |2| = 2.

А если x = 3, то |3 − 5| = |−2| = 2. Просто убрать черточки и оставить −2 нельзя: модуль отрицательным не бывает.

Запомни главное: модуль раскрывают с учётом знака выражения внутри него, а не по одному шаблону на все случаи.

Такая ошибка может помешать не только при упрощении выражений, но и при решении уравнений и неравенств с модулем. Поэтому важно понимать правило и уметь применять его в зависимости от условия.

На занятиях я уделяю внимание не только правильности решения, но и пониманию математических правил. Ведь когда ученик понимает, почему нужно действовать именно так, ему гораздо проще справляться с незнакомыми заданиями и применять полученные знания на практике.

Моё отношение к школьной математике и оценкам

Есть два вопроса, которыми родители задаются довольно часто: какие оценки ребёнок получает и насколько хорошо он понимает предмет. На первый взгляд, это почти одно и то же. Но в своей работе я постоянно вижу, что между этими вещами далеко не всегда стоит знак равенства.

📚 Зачем вообще нужна школьная математика?

На мой взгляд, её задача гораздо шире, чем научить решать уравнения, вычислять площади и запоминать формулы. Математика учит рассуждать, искать закономерности, проверять предположения, замечать ошибки и последовательно двигаться к решению.

Конечно, школьная программа включает темы, которые вряд ли пригодятся каждому взрослому в повседневной жизни в их первоначальном виде. Но умение анализировать условия, видеть связи между фактами и обосновывать свои выводы полезно далеко за пределами школьного кабинета.

Именно поэтому для меня важно, чтобы ученик понимал, что он делает и зачем, а не просто воспроизводил знакомый алгоритм.

🎯 А что насчёт оценок?

Я отношусь к ним спокойно. Оценка нужна: она помогает увидеть результат работы, понять, насколько усвоена программа, и определить, над чем ещё стоит поработать. Для экзаменов она тоже имеет значение.

Но оценка — это всё-таки показатель результата в определённых условиях, а не исчерпывающая характеристика способностей ребёнка.

Четвёрка может скрывать прочные знания и хорошее понимание предмета, если ученик допустил пару досадных ошибок. А пятёрка иногда получается благодаря тому, что школьник отлично освоил типовые задания, но теряется, когда условие немного меняется.

Бывает и обратная ситуация: ребёнок долго испытывал трудности, но постепенно разобрался в теме, стал увереннее решать задачи и научился замечать собственные ошибки. Его отметка пока могла измениться совсем немного, хотя в знаниях и самостоятельности произошёл заметный сдвиг.

💡 Что для меня важнее всего?

Мне хочется, чтобы ученик со временем мог сам разобраться в задаче, объяснить ход решения и понять, где допустил ошибку. Чтобы при виде незнакомого условия он не сразу думал: «Я такого не умею» (есть еще одна, очень известная всем учителям и родителям формула: «Я не знаю, как это решать»), а пытался найти знакомые элементы и рассуждать дальше.

Это не означает, что оценки совсем не важны или что к ним стоит относиться безответственно. Просто я считаю, что оценка должна помогать учиться, а не становиться единственной целью.

И ещё я убеждён: способности к математике нельзя надёжно разделить на две категории — «гуманитарии» и «технари». Дети осваивают материал с разной скоростью, приходят с разной подготовкой, по-разному реагируют на трудности. Но при подходящей поддержке и систематической работе многие вещи, которые сначала казались непонятными, постепенно становятся доступными.

Поэтому на занятиях я смотрю не только на то, какой ответ получил ученик. Мне важно понять, как он рассуждал, почему выбрал этот способ и сможет ли применить свои знания в незнакомой задаче.

А для вас что важнее в школьной математике: итоговая отметка, прочные знания или умение самостоятельно решать задачи? Мне интересно узнать мнение родителей.

Как формируется самостоятельность в математике?

«Он всё понимает, когда ему объясняют, а сам решить не может».

Такое наблюдение я нередко слышу от родителей. Ребёнок разбирает задачу вместе с учителем, правильно отвечает на вопросы, повторяет решение. Но дома открывает похожий пример и снова обращается за помощью.

Почему так происходит? Ведь материал уже объяснили, и вроде бы всё было понятно.

🧩 Понимание решения и умение найти его самостоятельно — разные навыки.

Когда взрослый объясняет задачу, он незаметно для ученика выполняет значительную часть мыслительной работы: выделяет главное в условии, вспоминает нужное правило, выбирает способ решения и определяет последовательность действий. Ребёнку остаётся следить за рассуждениями и соглашаться с ними. В этот момент решение действительно может казаться простым.

Самостоятельность появляется постепенно, когда ученик начинает выполнять эту работу сам.

🔎 Как это происходит на практике?

Например, на занятии мы решаем уравнение 3(x − 2) = 15. Ученик раскрывает скобки, переносит слагаемое и получает правильный ответ. Затем я предлагаю другое уравнение: 3(x − 2) = 18.

Ученик снова начинает раскрывать скобки, хотя можно решить проще: разделить обе части на 3, а затем прибавить 2. Я не тороплюсь показывать этот способ, а спрашиваю: «Что можно сделать с обеими частями уравнения, чтобы оно стало проще?»

Ученик задумывается, замечает общий множитель и сам находит более короткий путь.

В этот момент он осваивает не просто ещё один алгоритм. Он учится анализировать условие и выбирать подходящее действие самостоятельно.

1. Сначала разобраться в логике решения.

Важно, чтобы ребёнок понимал, почему применяется именно эта формула или правило, а не просто запоминал последовательность действий. Если он может объяснить ход решения своими словами, это хороший признак.

2. Затем попробовать решить похожую задачу самостоятельно.

Сначала ученик может опираться на разобранный пример, но постепенно подсказок должно становиться меньше. Именно в самостоятельной попытке становится понятно, какие шаги он уже освоил, а над какими ещё предстоит поработать.

3. Научиться действовать, когда готового образца нет.

В новой задаче нужно самому разобраться в условии, вспомнить подходящие знания и выбрать способ решения. Здесь особенно важно умение рассуждать, устанавливать связи между темами и пробовать разные подходы.

4. Научиться проверять себя.

Самостоятельный ученик умеет оценить, похож ли полученный ответ на правдоподобный, проверить вычисления и поискать ошибку, если что-то не сходится. Он постепенно перестаёт воспринимать каждую ошибку как тупик и начинает использовать её для понимания материала.

👨👩👦 Как родители могут помочь?

Когда ребёнок обращается за помощью, бывает очень соблазнительно сразу объяснить решение или показать нужную формулу. Это быстрее, но не всегда помогает развить самостоятельность.

Попробуйте сначала задать несколько вопросов:

• Что известно в условии?
• Что требуется найти?
• На какую тему похожа эта задача?
• Что ты уже пробовал сделать?
• Как можно проверить полученный ответ?

Такие вопросы направляют мысли ребёнка, но оставляют ему главную роль в решении. И, конечно, важно дать ему время подумать: пауза сама по себе ещё не означает, что он не справляется.

Самостоятельность также требует права на ошибку. Если за каждую неудачную попытку следуют упрёки или готовое решение вместо ребёнка, ему становится проще ждать подсказку, чем рисковать и рассуждать самому.

Главная цель занятий математикой — не просто научиться решать определённые типы задач, но и приобрести навыки мышления, которые помогают справляться с новыми заданиями. Этот навык формируется постепенно, через объяснение, самостоятельные попытки, анализ ошибок и всё более сложные задачи.

Почему решения по образцу недостаточно?

Бывало такое: на уроке разобрали задачу, ты всё понял, решил несколько похожих примеров — и получил правильные ответы. А на следующий день попалось задание, которое выглядит чуть иначе, и вдруг непонятно, с чего начать.

Знакомая ситуация? Давай разберёмся, почему так происходит.

📌 Решать по образцу и понимать решение — не одно и то же.

Когда ты разбираешь готовый пример, легко запомнить последовательность действий. Например, в уравнении нужно перенести слагаемые, привести подобные, а затем разделить обе части на коэффициент перед неизвестным.

Но можешь ли ты объяснить, почему выполняешь именно эти действия? Понимаешь ли, почему при переносе слагаемого меняется знак? Если ты просто запомнил порядок шагов, то небольшое изменение условия может поставить тебя в тупик.

🔎 Проверим на примере.

Решим уравнение:
2x + 6 = 14

Вычитаем 6 из обеих частей:

2x + 6 – 6 = 14 – 6
2x = 8

Да, да, именно поэтому и меняется знак! И, как вы видите, на самом деле он не меняется, и никакие числа не переносятся из одной части в другую!

Просто в школе чаще всего опускают это объяснение, основанное на известном свойстве уравнения:

«К обеим частям уравнения можно прибавить (или из обеих частей можно вычесть) одно и то же число, и получится уравнение, равносильное данному».

В результате, ученики просто заучивают правило, являющееся результатом применения этого свойства, а откуда берется само правило, так и не понимают.

Решаем дальше…

Делим обе части на 2:
x = 4

А теперь другое уравнение:
2(x + 3) = 14

Здесь можно сначала раскрыть скобки, а можно разделить обе части на 2. Оба способа приведут к правильному ответу.

Если ты понимаешь смысл преобразований, то сможешь выбрать удобный способ. А если запомнил только последовательность действий из первого примера, новое уравнение может показаться совершенно незнакомым.

🧠 Как проверить, действительно ли ты понял тему?

Попробуй выполнить несколько простых действий:

• Объясни решение своими словами. Представь, что рассказываешь другу, почему выполняешь каждый шаг.

• Измени условие. Попробуй решить.

Задача недели: проценты в несколько этапов

В задачах на проценты есть одна ловушка: иногда кажется, что достаточно сложить или вычесть указанные проценты. Но если изменение происходит в несколько этапов, важно каждый раз правильно определять, от какого числа считается процент.

Разберём пример.

📌 Цена товара составляла 2000 рублей. Сначала её повысили на 20%, а затем новую цену снизили на 20%. Какой стала цена товара? На сколько процентов она отличается от первоначальной?

Попробуй решить самостоятельно, прежде чем читать решение.

Решение

1️⃣ Сначала цену повысили на 20%.

20% от 2000 рублей — это 2000 · 0,2 = 400 рублей.

Новая цена: 2000 + 400 = 2400 рублей.

2️⃣ Теперь цену снизили на 20%, но уже от 2400 рублей!

20% от 2400 рублей — это 2400 · 0,2 = 480 рублей.

После снижения цена составит: 2400 − 480 = 1920 рублей.

3️⃣ Сравним результат с первоначальной ценой.

2000 − 1920 = 80 рублей.

Найдём, сколько это процентов от первоначальной цены:
80 / 2000 · 100% = 4%.

Ответ: 1920 рублей; цена уменьшилась на 4%.

💡 Почему так получилось?

Может показаться, что повышение на 20% и последующее снижение на 20% должны взаимно компенсироваться. Но проценты рассчитываются от разных величин: сначала от 2000 рублей, затем от 2400 рублей. Поэтому снижение оказывается больше первоначального повышения.

Запомни главное правило:

при каждом изменении цены заново определяй число, от которого нужно найти процент.

Такие задачи встречаются в школьной программе и на ОГЭ. Умение работать с процентами пригодится и при решении других математических задач, и в повседневной жизни — например, при расчёте скидок, изменении цен или сравнении выгодных предложений.

На занятиях я помогаю ученикам разобраться в логике таких задач, чтобы они могли уверенно решать их самостоятельно. Если ты готовишься к ОГЭ или ЕГЭ, буду рад видеть тебя на занятиях!

Ошибка недели: забытый «ОДЗ»

На этой неделе разберём ошибку, которая может стоить ученику баллов на ОГЭ: при работе с дробно-рациональным выражением он правильно выполняет преобразования, сокращает дробь, получает верный результат — и… получает 0 баллов за задание.

Рассмотрим пример:
(x² − 9) / (x − 3)

Разложим числитель на множители:
((x − 3)(x + 3)) / (x − 3)

Сократим дробь и получим:
x + 3

Всё верно? Почти!

В исходном выражении знаменатель x − 3 не должен равняться нулю. Значит, x ≠ 3.

После сокращения это ограничение никуда не исчезает. Поэтому исходное выражение равно x + 3 только при x ≠ 3.

Если записать просто x + 3 без учёта ограничения, можно случайно включить в область допустимых значений число 3, при котором исходная дробь не определена.

🔎 Как избежать ошибки?

Перед преобразованиями дробно-рационального выражения проверьте знаменатель и запишите ОДЗ — область допустимых значений. Все значения переменной, обращающие хотя бы один исходный знаменатель в ноль, нужно исключить.

И ещё один важный момент: даже если множитель сократился, запрет на соответствующее значение переменной сохраняется.

Такие детали особенно важны в заданиях ОГЭ: математические преобразования могут быть выполнены правильно, но забытое ограничение приведёт к неверному ответу и нарушению логики решения с точки зрения эксперта.

На занятиях мы разбираем не только способы решения, но и тонкости оформления и проверки, которые помогают увереннее справляться с заданиями ОГЭ и базового ЕГЭ.

Совет: поскольку в тексте нельзя написать дроби через дробную черту, я рекомендую переписать приведенные вычисления на листке в привычном виде. Так нагляднее будут заметны сокращения и ограничения.

Книги, которые мне интересно перечитывать

Есть книги, которые прочитал однажды, получил удовольствие и поставил на полку. А есть такие, к которым возвращаешься спустя годы. И каждый раз находишь что-то новое — или, наоборот, с удовольствием обнаруживаешь знакомые мысли, ради которых когда-то и полюбил эту историю.

📖 Из фантастики у меня особое место занимают «Хроники Амбера» Роджера Желязны. Мир, в котором реальность оказывается куда сложнее, чем кажется на первый взгляд, загадки и герои, которым трудно доверять безоговорочно. Хорошая история, в которую приятно снова погрузиться.

😄 Отдельная любовь — «Мифы» Роберта Асприна. Здесь совсем другое настроение: юмор, неожиданные повороты и герои, которые умудряются попасть в очередную передрягу даже тогда, когда, казалось бы, всё уже предусмотрели. Иногда именно такой книги и хочется — чтобы отдохнуть, улыбнуться и на время отвлечься от повседневных забот.

🕊️ Ранние произведения Ричарда Баха привлекают меня другим. В них за внешне простыми историями скрываются размышления о свободе, выборе, собственных возможностях и о том, насколько далеко человек способен выйти за привычные рамки.

🚀 Очень многое перечитываю у братьев Стругацких, Сергея Лукьяненко и Сергея Алексеева. У каждого свой взгляд на человека и мир, свои вопросы, свои способы заставить читателя задуматься. Мне вообще интересна фантастика, которая остаётся с тобой и после того, как закрываешь книгу.

🎓 Есть и другая часть моей библиотеки — профессиональная. К книгам А. С. Макаренко и В. А. Сухомлинского я обращаюсь уже с точки зрения преподавателя. Меня интересуют их наблюдения за детьми, размышления о воспитании, об ответственности взрослого и о том, как помочь человеку раскрыть свои возможности.

💭 Интересно, что художественная литература и книги по педагогике, при всей разнице тематики и стиля, часто сходятся в главном: человек гораздо сложнее, чем кажется на первый взгляд. Его поступки, способности и решения нельзя объяснить одной простой формулой.

📚 Наверное, поэтому мне и нравится перечитывать книги. Сами страницы остаются прежними, а ты за это время меняешься. И история, которую когда-то воспринимал одним образом, вдруг открывается с другой стороны.

А у вас есть книги, к которым вы возвращаетесь снова и снова? Напишите, что это за книги и чем они вас удерживают.

Что означает «понимать математику»?

— Я не знаю, как решать эту задачу!
— Мы такие задачи не решали!

Многие родители слышали подобные фразы от своих детей. Иногда ученик действительно столкнулся с темой, которую ещё плохо знает. Но бывает и другая ситуация: необходимые знания у него есть, однако применить их в непривычном задании он затрудняется.

В чём причина?

Дело в том, что знать правила и уметь решать знакомые примеры — ещё не означает, что ученик по-настоящему понимает математику.

Понимание проявляется в тот момент, когда готового образца перед глазами нет. Ученик может прочитать условие, выделить известные данные, вспомнить подходящие правила и попробовать связать их между собой. Возможно, решение получится не сразу, но у него есть отправная точка для рассуждений.

Например, ребёнок умеет решать уравнения по образцу, но в задаче условие сформулировано непривычно. Если он понимает принцип решения уравнений, то может попробовать обозначить неизвестную величину буквой, выразить через неё остальные величины и составить уравнение. Если же он запомнил только последовательность действий из разобранных примеров, даже незначительное изменение условия способно поставить его в тупик.

Как понять, что ребёнок действительно разбирается в математике?

✓ Он может объяснить, почему выбрал именно этот способ решения, а не просто перечислить действия.

✓ Он способен применить знакомое правило в немного изменённой ситуации, а при затруднении пробует рассуждать, а не сразу отказывается от решения.

✓ Он умеет анализировать собственные ошибки: понять, где сбился, какое правило забыл или какую связь между величинами упустил.

✓ Он замечает связи между темами. Например, понимает, как свойства дробей помогают при решении уравнений, а формулы сокращённого умножения позволяют упростить выражение.

Это особенно важно в 8–9 классах. Программа становится сложнее, темы опираются друг на друга, а в заданиях ОГЭ встречаются условия, которые требуют самостоятельно выбрать подходящий способ решения. Простого воспроизведения знакомого алгоритма уже бывает недостаточно.

Поэтому в своей работе я стараюсь развивать у учеников именно умение думать. Мне важно, чтобы ребёнок понимал, что он делает и зачем, мог объяснить ход решения и постепенно учился самостоятельно находить выход из незнакомой ситуации.

Если ваш ребёнок часто говорит: «Мы такое не решали», стоит разобраться, в чём дело: ему действительно не хватает знаний или пока трудно применять то, что он уже знает? Это разные проблемы, и подход к их решению тоже будет разным.

Есть, правда, еще одна причина произнесения подобных фраз — обычная лень. Но эта проблема лежит уже вне математической методики 😃.

На занятиях я как раз и помогаю школьникам укреплять математическую основу, учиться рассуждать и увереннее справляться с непривычными заданиями. Это крайне важно и для повседневной учёбы, и при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ.

Как разбирать собственные ошибки после домашней работы

Решил домашнюю работу, проверил ответы и увидел ошибку. Первая реакция обычно такая: «Ну да, здесь просто неправильно посчитал». Но гораздо полезнее разобраться, почему именно появилась ошибка.

Попробуй ещё раз пройти по своему решению и ответить на несколько вопросов.

1. Я правильно понял условие?

Иногда вычисления выполнены верно, но уже в начале задачи мы неправильно поняли, что именно нужно найти.

2. Я знаю нужное правило или формулу?

Если формулу не удалось вспомнить, это не случайная ошибка. Значит, тему нужно повторить и ещё раз разобраться в материале.

3. Я знаю правило, но неправильно его применил?

Например, формулу квадрата суммы ты помнишь, но при раскрытии скобок потерял слагаемое 2ab. Значит, проблема не в полном незнании формулы, а в том, что пока не хватает уверенности при её применении.

4. Это вычислительная ошибка?

Неправильно сложил числа, потерял знак, пропустил цифру. Такое бывает. Но даже в этом случае полезно найти конкретное место, где произошёл сбой, и понять, как не допустить его снова.

5. Смогу ли я решить задачу ещё раз самостоятельно?

Это один из самых важных вопросов.

Просто посмотреть правильное решение и сказать: «Теперь всё понятно» — недостаточно. Закрой решение и попробуй выполнить задачу заново. Если получилось, значит, ошибка разобрана. Если снова возникла та же проблема, нужно вернуться к этому месту ещё раз.

Полезно также записывать свои типичные ошибки:

• теряю минус перед скобками;
• забываю привести дроби к общему знаменателю;
• путаю площадь и периметр;
• неправильно понимаю условие задачи.

Через некоторое время станет видно, какие ошибки повторяются чаще всего. Тогда можно понять, над чем действительно нужно работать.

Поэтому после домашней работы важно не просто посчитать количество ошибок, а разобрать каждую и найти её причину.

Тогда домашняя работа становится не формальной проверкой от учителя, а способом улучшить свои знания для самого же себя.

На моих занятиях домашняя работа тоже является частью этого процесса: я проверяю решения, разбираю ошибки и обращаю внимание на повторяющиеся трудности. Так постепенно закрываются пробелы и появляется больше уверенности при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ.