Математика с Александром Сергеевичем

#Задача на выходные:

В 6А классе учится 27 школьников. Им предложили посещать кружки по пению, математике и чтению стихов. Каждый хочет посещать один или несколько из этих кружков. Оказалось, что в каждый кружок желает ходить более трети класса. Можно ли составить такие списки кружков, что каждый будет ходить ровно в один кружок, в который хочет, и во всех кружках будет поровну школьников?

#Решение позавчерашней задачи:

1) Отложим одну монету и положим на чашки весов по 31 монете. Если чашки уравновесились, то мы отложили фальшивую и на каждой чашке лежат по 3 фальшивых монеты. Если одна из чашек оказалась тяжелее, то на ней лежат не более трёх фальшивых монет (на более лёгкой их должно быть больше, значит на более тяжёлой их менее половины от общего количества). Таким образом, после первого взвешивания мы сможем выделить 31 монету, среди которых не более трёх являются фальшивыми.

2) Возьмём эту группу монет и проведём аналогичную операцию: снова отложим одну монету и положим на чашки весов по 15 монет. После этого взвешивания мы сможем выделить 15 монет, среди которых не более одной фальшивой.

3) Повторив аналогичную операцию в третий раз, мы получим 7 настоящих монет.

Иногда мне становится страшно, когда я смотрю на свои цены - чувствую себя то мошенником, то самозванцем. Порой мне кажется, что я не найду учеников, а потом расписание заполняется (сейчас уже есть буквально пара окон за всю неделю) - но всё равно время от времени включается этот стрёмный внутренний самозванец...

Потом я прихожу в магазин или приезжаю в шиномонтаж... Две недели назад у меня колесо спустило в ноль - вызов мастера с полным ремонтом колеса обошёлся в 6400 рублей. И приступы самозванчества сразу же проходят.
P. S. Быть может, есть желающие занять и последние оставшиеся окошки? Чтобы мне стало совсем некогда переживать 😊

#Задача про взвешивания:

Известно, что среди 63 монет есть 7 фальшивых. Все фальшивые монеты весят одинаково, все настоящие монеты также весят одинаково, и фальшивая монета легче настоящей. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить 7 настоящих монет?

#Решение позавчерашней задачи:

Есть два способа разрезать квадрат на три прямоугольника с равными периметрами: либо это три равных прямоугольника, одна из сторон которых равна стороне квадрата, а другая в 3 раза меньше; либо - два равных, одна из сторон которых равна половине стороны квадрата, и третий, сторона которого равна стороне квадрата.

В первом случае всё понятно: каждый прямоугольник имеет размер 4х12 и периметр 32.

Во втором случае пусть один прямоугольник будет 12хn, а другие два 6х(12-n). Тогда их периметр равен 24+2n=12+24-2n, откуда 4n=12, n=3, то есть прямоугольники были 12х3 и 6х9, а их периметры равны 30.

Ответ: 30 или 32.

В минувшую субботу у меня был очень насыщенный день: с 10 до 17:30 я работал (с небольшим обеденным перерывом в середине, в остальное время - подряд); потом - поехал на еженедельную репетицию оркестра, и наконец после этого к 21:30 попал на финиш "Бегущего Города", где меня быстро "припахали" в последний час вешать медали на участников. Домой я вернулся около часа ночи.
А как вы проводите "выходные"?)
P. S. Это был мой первый за несколько лет финиш БГ - с допандемийных времён, когда я несколько лет подряд проводил на старт/финише целые дни, как-то не складывалось потрудиться - несколько раз приезжал под закрытие, помогал с разборкой, увозил маму домой - а тут полноценно вроде как и сам приложил руку к любимой игре.