Математика не для всех

Пусть неизвестная функция f задана на всей вещественной прямой. В момент t нам известны все её значения при x < t, и требуется предсказать f(t). Непрерывность или другие условия регулярности не предполагаются.

Теорема Кристофера Хардина и Алана Тейлора утверждает, что существует единая стратегия, которая для каждой такой функции ошибается лишь на счётном нигде не плотном множестве моментов. Множество ошибок может зависеть от функции. Здесь «почти всегда» имеет точный смысл, без вероятностной модели.

Построение использует аксиому выбора. Зафиксируем вполне упорядочение множества всех функций из ℝ в ℝ. Это такой порядок, в котором у любого непустого подмножества есть наименьший элемент. Среди функций, совпадающих со всей наблюдавшейся историей, выберем наименьшую и выдадим её значение в момент t как прогноз.

По мере поступления данных множество допустимых функций сужается. Поэтому выбранная функция может только продвигаться вверх по фиксированному порядку. Если прогноз ошибочен, после раскрытия настоящего значения прежняя кандидатура уже не подходит. Именно сочетание этого продвижения с вполне упорядоченностью позволяет ограничить множество ошибок.

Результат распространяется и на ближайшее будущее. Та же выбранная функция служит прогнозом продолжения. Кроме счётного нигде не плотного множества исключительных моментов t, она совпадает с настоящей функцией на некотором интервале t, t + ε), где ε > 0. Длина этого интервала заранее не фиксирована. Для непрерывных функций это тоже содержательный результат, хотя их значение в текущий момент уже определяется пределом слева.

Важна цена такого предсказания. Мы используем всю точную историю на бесконечном промежутке и вполне упорядочение пространства функций. Доказательство неконструктивно и не даёт конкретной практически полезной процедуры прогнозирования. Это теорема существования, основанная на аксиоме выбора.

Изложение Джоэла Дэвида Хэмкинса «The Nearly Perfect Prediction Theorem»
https://www.ams.org/journals/notices/202503/noti3098/noti3098.html
DOI статьи
https://doi.org/10.1090/noti3098
PDF выпуска Notices AMS
https://www.ams.org/journals/notices/202609/202609FullIssue-optimized.pdf?adat=&trk=&cat=none&type=.pdf

Статья Хардина и Тейлора «A peculiar connection between the axiom of choice and predicting the future», 2008, запись MathSciNet
https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2384262

Их книга «The mathematics of coordinated inference», 2013
https://doi.org/10.1007/978-3-319-01333-6
Запись MathSciNet о книге
https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=3100500

Наши каналы
[MAX · Telegram · Дзен

#ТеорияМножеств #АксиомаВыбора #Матлогика #Предсказание

Математики следующие 😬

@xor_journal

Верные числа могут создавать неверное впечатление. В статистике важно понимать, кто попал в выборку, как рассчитан показатель и что скрывает масштаб графика.

Представим опрос выпускников о зарплате. Ответили далеко не все, причём люди с высокими доходами отвечали охотнее. Тогда результаты описывают прежде всего ответивших. Переносить эту картину на всех выпускников без учёта отбора рискованно.

Слово «среднее» тоже требует уточнения. Высокие зарплаты руководства могут заметно поднять среднее арифметическое по компании. Поэтому такая величина сама по себе ещё не говорит, сколько получает обычный сотрудник. Мода показывает наиболее часто встречающееся значение зарплаты. Эти показатели отвечают на разные вопросы, и способ расчёта нельзя оставлять за кадром.

Масштаб рисунка влияет на впечатление не меньше. Если на одном графике показать количество частных и государственных школ, сильно различающееся по величине, изменения меньшего ряда могут стать почти незаметными. Отдельный график частных школ позволяет рассмотреть динамику, скрытую общей шкалой.

При чтении статистики полезно проверять три вещи. Кого не охватил сбор данных? Что именно назвали средним? Позволяет ли выбранная шкала увидеть изменения?

О подобных приёмах написаны книга Дарелла Хаффа How to Lie with Statistics и статья Говарда Уэйнера How to Display Data Badly.

https://archive.org/details/HowToLieWithStatistics

http://users.stat.umn.edu/~sandy/courses/8801/handouts/04.tabular/wainer1984.pdf

https://habr.com/ru/post/217545/

Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен

#статистика #выборка #анализданных #графики

Что связывает геометрию кривых с распространением волн и оптимальным управлением?

Астроиды и гипоциклоиды возникают как ответы и модели в задачах этих областей. Они также появляются в теории особенностей, в исследовании каустик и волновых фронтов, эволют и эвольвент.

Этому пересечению тем посвящена книга В. И. Арнольда «Астроидальная геометрия гипоциклоид и гессианова топология гиперболических многочленов», выпущенная МЦНМО в 2001 году. В центре книги находится неожиданная связь астроидальной геометрии с гессиановой топологией. Её обнаружение привело к новым результатам в обеих областях.

У книги есть и учебная история. По её материалам Арнольд прочитал миникурс на Летней школе «Современная математика» в Дубне 17–26 июля 2001 года. Слушателями были старшеклассники и студенты первых двух курсов. При этом книга адресована подготовленным читателям, так что возраст участников школы не стоит принимать за обещание простого чтения.

Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен

#геометрия #топология #гипоциклоиды #Арнольд

У клетки в изогнутом слое ткани могут быть разные соседи сверху и снизу. Именно эта смена соседства помогает понять геометрию скутоида.

Представьте клетку, у которой на одной поверхности слоя пятиугольное основание, а на другой шестиугольное. Между основаниями появляется дополнительная вершина с Y-образным соединением рёбер. Это один из вариантов скутоида. Название обозначает семейство форм, а не единственное тело с фиксированными размерами. Боковые поверхности могут быть искривлёнными, поэтому описывать такую клетку обычным многогранником не всегда корректно.

Теперь соберём несколько таких клеток вместе. Две клетки могут соседствовать у нижней поверхности слоя, но перестать соседствовать у верхней. У другой пары контакт, наоборот, появляется. Скутоидная геометрия позволяет совместить такую перестройку соседства с плотной упаковкой клеток без зазоров. Анимация помогает представить этот переход
https://youtu.be/bqiSA1dEnB4?si=VhSN-w-ZvxJRERwx&t=76

Для моделирования клеточных слоёв используют диаграммы Вороного. Задаются точки, условные центры клеток. Каждой точке отводится область, в которой она ближайшая среди всех заданных центров. Так получают приближённую карту клеточных форм.

Если карту плоского слоя просто вытянуть в глубину, получится призматическая модель с одинаковыми верхом и низом. В искривлённой ткани формы клеток на двух поверхностях слоя могут различаться, причём меняются и их соседи. Поэтому одной плоской карты недостаточно для описания всей трёхмерной упаковки.

Скутоиды изучают на стыке этой геометрии и биологии эпителия. При этом не весь эпителий состоит из клеток скутоидной формы.

Популярный разбор с иллюстрациями
https://habr.com/ru/companies/ru_mts/articles/938192/

Исследовательская статья о скутоидах
https://www.nature.com/articles/s41467-018-05376-1#Sec1

Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен

#геометрия #скутоид #диаграммыВороного #матбиология

Лунные разломы позволяют оценить, насколько уменьшился радиус Луны. Ее недра остывают, и спутник сжимается. Под действием напряжений кора трескается, а ее участки наползают друг на друга, образуя уступы.

По снимкам Lunar Reconnaissance Orbiter планетологи нанесли на карту более 8900 тектонических разломов в высокогорьях и свыше 2600 небольших хребтов в лунных морях. Для оценки сжатия исследователи сопоставили размеры, форму, глубину залегания и общую протяженность разломов.

Полученная оценка суммарной деформации поверхности составляет 0,0048–0,0053%. Уменьшение радиуса авторы оценили в 42–46 метров за последние сотни миллионов лет. Это расчетная оценка по геологическим структурам.

Работа опубликована в The Planetary Science Journal.
https://iopscience.iop.org/article/10.3847/PSJ/ae9eae

Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен

#геометрия #Луна #планетология

Можно ли увидеть хаусдорфовость пространства на графе? Возьмём точки топологического пространства в качестве вершин. Две различные вершины соединим ребром, если у соответствующих точек нет непересекающихся открытых окрестностей.

Тогда пространство хаусдорфово в точности тогда, когда в этом графе нет рёбер. Это непосредственно следует из определения хаусдорфовости, которое требует для любых двух различных точек найти непересекающиеся открытые окрестности. Каждое ребро отмечает конкретную пару, для которой это требование нарушено. Так глобальное условие на пространство получает наглядное выражение через отношения между парами точек.

Подобный подход применим и к другим условиям отделимости, включая T₁, условие Урысона и функциональную хаусдорфовость. В работе П. Б. Винода Кумара с соавтором предложено рассматривать соответствующие графы как иерархию. Особенно естественен комбинаторный взгляд на конечные топологические пространства.

https://arxiv.org/abs/2602.00712
https://arxiv.org/abs/2610.14783

Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен

#топология #теорияграфов #хаусдорфовость

Насколько хорошо число π можно приблизить дробями? Показатель иррациональности μ(x) измеряет качество рациональных приближений к числу x. Для любого иррационального числа он не меньше 2. Почти все действительные числа имеют показатель ровно 2, хотя существуют и числа с более высоким значением.

В препринте OpenAI «The irrationality exponent of π is 2», датированном 24 сентября 2026 года, заявлено равенство μ(π) = 2. Оно означало бы, что по этому показателю π относится к тому же классу, что и почти все действительные числа.

Здесь существенна именно точная величина показателя. Само по себе общее неравенство μ(x) ≥ 2 для иррациональных чисел ещё не даёт равенства для конкретного числа.

Текст препринта в PDF
https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/The-irrationality-exponent-of-pi-is-2-September-24-2026/paper.pdf

Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен

#ТеорияЧисел #ЧислоПи #Иррациональность #Приближения

Что именно гарантирует проверка доказательства в Lean? Здесь важны три отдельных вопроса. Правильно ли сформулирована теорема, корректно ли проверено доказательство и насколько надёжна сама программа проверки.

Сначала Lean обрабатывает запись доказательства, проходя этап elaboration. Полученный результат проверяет ядро. Именно оно отвечает за проверку результата этой обработки. Написанный человеком или ИИ код доказательства ещё нельзя принимать на веру до проверки ядром.

Но даже успешная проверка требует человеческого аудита формулировки. Совпадает ли утверждение с той теоремой, которую собирались доказать? Соответствуют ли определения математическому замыслу? Томас Хейлс подчёркивает, что такой аудит обычно существенно проще проверки самого доказательства. Сведения о математике доступны на его университетской странице https://www.mathematics.pitt.edu/people/thomas-hales

У самой программы проверки тоже бывают ошибки. Особенно опасны ошибки логической корректности, позволяющие принять доказательство False. Из противоречия в используемой логике можно вывести любое утверждение, поэтому такой дефект разрушает смысл проверки.

Летом 2026 года при поиске уязвимостей Lean с помощью внутренних моделей OpenAI обнаружили ошибки в ядре и среде выполнения. Среди них были переполнение счётчика ссылок и использование версии библиотеки GMP с известной ошибкой. Обе уязвимости позволили добиться принятия доказательства False. В отчёте разработчиков указано, что Lean 4.33.1, выпущенный 21 августа, содержит исправления всех проблем, найденных в ходе этого поиска.

Подробности разобраны здесь https://leodemoura.github.io/blog/2026-8-24-postmortem-for-the-kernel-soundness-bug-hunt/

Один из способов повысить доверие к результату состоит в повторной проверке независимыми программами. Однако несколько проверяющих могут содержать одинаковые или разные ошибки, приводящие к принятию одного некорректного доказательства. Поэтому важна независимость реализаций, а не только их количество.

Для потенциально вредоносных доказательств разработчики отдельно предупреждают, что обычного lake build недостаточно. Они рекомендуют comparator и внешние проверяющие программы. Это относится и к доказательствам, сгенерированным ИИ, которые в такой модели угроз рассматриваются как потенциально вредоносные.

Рекомендации по проверке https://lean-lang.org/doc/reference/latest/ValidatingProofs/#validating-proofs
Инструмент comparator https://github.com/leanprover/comparator

Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен

#матлогика #доказательства #верификация #основыМатематики

Божественно