Математические этюды

Мёртвая петля (по-английски loop-the-loop) — прибор, являющийся неотъемлемой частью демонстрационных кабинетов с середины XIX века и основой популярных аттракционов https://etudes.ru/models/loop-the-loop/ .

Исторически, в первых экспонатах запускали не шарик, а тележку (иногда с водой!). И не случайно модель называлась centrifugal railway. Газетные объявления 1840-х годов описывают большую дорогу для публичных катаний в Манчестере и Ливерпуле: съезжая по ней в тележке, посетители могли пройти мёртвую петлю. А не позднее 1850-х годов этот экспонат уже встречается в каталогах учебного оборудования.

Модель простая, но даёт возможность повычислять. Посмотреть, при каких размерах шарика и петли и при каком начальном положении шарик пройдёт полную петлю, оторвётся при подъёме или будет качаться в нижней половине петли. Убедиться, что масса шарика не влияет на то, какой из этих случаев реализуется. Посмотреть, чем в этой задаче идеальное скольжение отличается от качения шарика, и посчитать, как на ответ влияет трение.

Сегодняшняя суббота, 24.10.26, — математическая!

Это последняя дата в XXI веке, являющаяся пифагоровой тройкой: 24^2+10^2=26^2!

В следующий раз такое наступит 5 апреля 2103 года, а если требовать, чтобы год был гипотенузой, то 4 марта 2105 года.

(Спасибо Нестору Говорко, что обратил внимание.)

Два одинаковых круга, вставленные друг в друга под прямым углом, — очень простая конструкция. Но её выпуклая оболочка — олоид — обладает несколькими занимательными свойствами, которые можно узнать из сюжета https://etudes.ru/models/oloid/ .

Это наш первый фильм, созданный с использованием искусственного интеллекта.

В большинстве случаев для создания видео используют специальные нейронные сети, которые сразу рисуют 2D-картинку. В наших экспериментах по такой технологии мы пока не смогли добиться математической точности происходящего.

Мы пошли другим путём. В данном случае современный ИИ написал сцену программы Maxon Cinema4D, которую мы используем для создания наших видео с 2002 года. ИИ создал объекты, рассчитал их движение и представил его так, как это принято в приложении, расставил источники освещения и смоделировал движение камеры. Конечно, созданная ИИ сцена была подправлена под то, как считаем чуть лучше, под наш стиль. Но если раньше всё приходилось делать руками, то теперь сильный ИИ помогает и в этом.

Кривая Вивиани https://etudes.ru/etudes/Viviani-curve/ является прообразом параболы при ортогональной проекции, гиперболы и лемнискаты Бернулли — при центральных проекциях. Получается она как пересечение сферы с цилиндром или конусом, а на глобусе отвечает точкам, имеющим одинаковую широту и долготу.

Прошёл год https://t.me/EtudesRu/814 с открытия нового сайта журнала «Квант» https://www.kvant.digital/ .

Теперь выложены все вышедшие номера, начиная с первого номера 1970 года https://www.kvant.digital/issues/.

Роспись статей насчитывает более 9,5 тысяч записей https://www.kvant.digital/articles/?order=chronoasc ; продолжается процесс сверки и исправления единичных ошибок. Указатель персоналий https://www.kvant.digital/indices/personalia/ содержит около 4 тысяч авторов; идёт процесс создания кратких биографических справок. Во всех списках предусмотрена возможность упорядочивать различными способами, например так https://www.kvant.digital/indices/personalia/?order=cntdesc .

Отдельное внимание было уделено Задачнику «Кванта» — предлагавшиеся задачи решали во многих уголках нашей страны https://www.kvant.digital/problems/solvers/geo/ (если вы или ваши родители присылали решения в журнал можно попробовать найти фамилию в списке приславших решения https://www.kvant.digital/problems/solvers/ или поиском по всем изображениям https://www.kvant.digital/issues/. В задачах по математике больше половины условий уже представлены в текстовом виде https://www.kvant.digital/problems/math/ , некоторые и с текстовыми решениями. Спасибо студентам и преподавателям-организаторам математического факультета ВШЭ!

За прошедший год качество результатов, выдаваемых ИИ, существенно возросло. Надеемся, что скоро все накопленные бесценные материалы будут представлены в удобном текстовом виде, а журнал будет и дальше продолжать радовать интересными статьями!

Иллюстрированный каталог памятников, посвящённых учителям https://max.ru/etudesru/AaEKb6heS84 . (Собрано ИИ.)

Спасибо вам, Учителя!

Последний Математический вторник сентября: лемниската Бернулли — кривая из семейства овалов Кассини — может быть получена как сечение тора https://etudes.ru/models/Bernoulli-lemniscate/ .

Уходящий сентябрь ознаменовался несколькими знаковыми юбилеями.

15 сентября исполнилось 100 лет Жану-Пьеру Серру — одному из величайших математиков XX века, «самому молодому и самому старому» лауреату Филдсовской медали. Несколько ссылок:
• выступление Серра на конференции его 100-летия ,
• свежее интервью,
• рассказ о нём и его топологических результатах.

17 сентября исполнилось 200 лет со дня рождения Бернхарда Римана. В собрании сочинений Римана, изданных в 1948 году, есть статьи «О механизме уха», «К теории цветных колец Нобили», «Новая теория остаточного заряда в аппаратах, служащих для накопления электричества», … И, конечно же, его лекция при вступлении в звание приват-доцента Гёттингенского университета «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», заложившая основы римановой геометрии.

19 сентября исполнилось 60 лет заведующему Отдела алгебраической геометрии Математического института им. В. А. Стеклова РАН Дмитрию Олеговичу Орлову, чему была посвящена конференция «Современная алгебраическая геометрия» .

20 сентября исполнилось 20 лет проекту «Математическое образование: общедоступная электронная библиотека», более известному по своему адресу www.mathedu.ru/ . За 20 лет титанической работы Василия Бусева в проекте оцифрованы и выложены интересные книги, журналы, ...

Сферический глобус — хорошее приближение формы нашей Земли. Какой кратчайший путь на глобусе между двумя городами? А как он выглядит на карте? Какие самые длинные «прямые» морской и сухопутный пути на Земле?

Ответы на эти вопросы представлены в обновлённом сюжете «Земные пути».

Приятно, что рядом есть удивительная молодёжь, с чьей простой, но великой идеи, можно начать новый (учебный) год «Математических вторников».

Лента Мёбиуса является односторонней неориентируемой поверхностью с краем, а также популярным и узнаваемым математическим объектом. Существует ли такое вложение ленты Мёбиуса в трёхмерное пространство, при котором её граница была бы плоской кривой? А окружностью?

В XX веке единственным примером вложения, в котором край есть честная окружность, служила так называемая «Sudanese Möbius strip». При этом сама эта поверхность довольна сложна для восприятия и понимания.

Представляем простой и наглядный пример вложения ленты Мёбиуса, придуманный Василием Рождественским, при котором вся граница лежит в одной плоскости и, следовательно, незаузлена https://etudes.ru/etudes/Mobius-circular-boundary/ . Применив воображение, несложно непрерывно продеформировать (без самопересечений) эту модель так, чтобы граница стала честной окружностью.