Часть 2 из 2

Такая сумма называется скалярным произведением. Строка и столбец должны иметь одинаковую длину n, поэтому и требуется совпадение внутренних размеров.

Посчитаем произведение целиком. Возьмём A = [[1, 2], [3, 4]] и B = [[2, 0], [1, 3]]. Внутренние скобки обозначают строки. Заполняем ответ по строкам.

c₁₁ = 1 · 2 + 2 · 1 = 4.
c₁₂ = 1 · 0 + 2 · 3 = 6.
c₂₁ = 3 · 2 + 4 · 1 = 10.
c₂₂ = 3 · 0 + 4 · 3 = 12.

Получаем AB = [[4, 6], [10, 12]]. Каждый результат занимает место на пересечении выбранных строки и столбца.

Смысл суммирования хорошо виден в линейной модели. Пусть строка x = [2, 5, 1] содержит три признака объекта, а столбец w содержит веса 3, −1 и 4. Взвешенная сумма равна

xw = 2 · 3 + 5 · (−1) + 1 · 4 = 5.

Строка выбирает объект, столбец задаёт веса, сумма собирает вклад признаков. Если собрать объекты в строки матрицы X, её размер будет «число объектов × число признаков». Тогда Xw даст столбец прогнозов, по одному на объект. При наличии свободного члена к каждому прогнозу прибавляют одно и то же число b. Несколько столбцов весов дадут несколько выходов для каждого объекта.

Теперь поменяем множители местами в числовом примере. Обе матрицы имеют размер 2 × 2, поэтому BA тоже определено. Но BA = [[2, 4], [10, 14]], что отличается от AB. Таким образом, обратное произведение может не существовать, а если существует, не обязано совпадать с исходным. Геометрический смысл зависимости от порядка можно увидеть при повороте изображения и растяжении по горизонтали. Обычно результат меняется, если переставить эти действия.

При согласованных размерах действуют правила A(B + C) = AB + AC и (AB)C = A(BC). Можно раскрывать скобки и менять группировку множителей, сохраняя их порядок. Поэлементное умножение чисел на одинаковых местах является отдельной операцией; в программных библиотеках его нужно отличать от матричного произведения.

Умножение на число устроено иначе. Каждый элемент матрицы умножают на это число, без суммирования по строкам и столбцам. Единичная матрица I, напротив, участвует в обычном матричном произведении. Она квадратная, с единицами на главной диагонали и нулями вне неё. Если в каждом произведении выбрать I подходящего размера, то AI = A и IA = A.

Продолжить изучение можно с разделом об умножении матриц в Interactive Linear Algebra. В каталоге учебных статей также есть разбор метода Гаусса и гид по математике для Data Science.

Согласованные размеры позволяют вычислить произведение, но сами по себе не дают права переставлять множители.

Читайте «Математика не для всех» в Telegram, Дзене и ВКонтакте.

#ЛинейнаяАлгебра #Матрицы #УмножениеМатриц #АнализДанных