Что такое мнимые числа простыми словами и зачем они нужны (очень!) в реальной жизни

В школе при решении квадратного уравнения под корнем иногда получается минус. Учитель говорит: «Такого числа не существует, корней нет». Логично: привычное число в квадрате даёт плюс. Но это «несуществующее» число работает в розетке, Wi-Fi, телефоне и лампочке. Без него современная электроника и физика не смогли бы считать.

Что это такое
Мнимая единица i — это не «сколько яблок», а направление. Обычные числа живут на прямой: ... −3 −2 −1 0 1 2 3 ... Мнимые добавляют вторую ось — вверх-вниз. Числа начинают жить на плоскости, как на карте: есть восток-запад и север-юг. Умножить на i — значит повернуть число на 90 градусов. Умножить дважды — повернуть на 180 градусов, то есть умножить на −1. Отсюда i × i = −1. Никакой мистики: просто поворот.

Почему название плохое
Слово «мнимые» (imaginary — «воображаемые») придумал в XVII веке Декарт в насмешку, считая их бессмысленной выдумкой. Название прилипло и на столетия запутало школьников. Отрицательные числа тоже когда-то казались странными. Мнимые числа не более выдуманы, чем минус пять градусов на улице. Просто это другое измерение чисел, к которому мы не привыкли.

Зачем нужны
Переменный ток в розетке колеблется 50 раз в секунду: напряжение то растёт, то падает, то становится отрицательным. Это удобно описывать вращающейся стрелкой, а вращения на плоскости — комплексными числами. Инженеры-электрики во всём мире считают цепи переменного тока через комплексные числа: так проще и точнее.

Wi-Fi, мобильная связь, Bluetooth, радио и телевидение — это волны. Их раскладывают на простые составляющие с помощью преобразования Фурье. Оно по своей природе комплексное, то есть без мнимых чисел его не записать. Каждый раз при подключении к Wi-Fi сигналы обрабатываются через комплексные числа миллионы раз в секунду.

Уравнение Шрёдингера — главное уравнение квантовой физики — содержит i прямо в формуле. Волновая функция, описывающая состояние электрона или фотона, — комплексное число. Не потому что физикам так удобнее, а потому что так устроена природа. Без этого не было бы атомной энергетики, лазеров, МРТ. Комплексные числа используются также в GPS, сжатии JPEG, компьютерной графике, анимации и 3D-играх.

История
В XVI веке математики впервые наткнулись на корень из минус единицы при решении уравнений и считали его неприятной помехой. Но если с ним аккуратно работать, он давал правильные ответы. В XVIII веке Эйлер и Гаусс построили стройную теорию, и выяснилось, что за этим стоит красивая геометрия — плоскость с поворотами. А в XX веке физика обнаружила, что мир буквально устроен на этих числах.

Числа — это не только «сколько», но и язык описания мира. Иногда миру нужно описать поворот, колебание или волну. Для этого и нужны мнимые числа: они помогли перейти с прямой на плоскость, то есть в другое измерение. В школе говорят «такого не существует» только потому, что мнимого числа нет на числовой прямой, а на плоскость в школе обычно не выходят.