Тянуть кота за хвост

Прямое значение: медленно и монотонно дергать домашнего кота за хвост, вызывая у животного протяжный, заунывный и раздражающий окружающих вой, но не доводя дело ни до какого осмысленного результата.

Исторический контекст:
В народной речи и фольклоре этот оборот сформировался на стыке бытовых наблюдений и старинных суеверий:

Деревенский быт и звуковая метафора: В крестьянской избе кот был обязательным жильцом (защитником зерна от грызунов). Если от скуки или шалости начать тянуть кота за хвост, он издает долгий, нудный, вибрирующий звук на одной ноте. В народном языке этот протяжный кошачий концерт сравнивали с плохим пением, скрипом несмазанного колеса или нудной, затянутой речью человека, который мычит, мямлит и никак не может перейти к сути дела.
Суеверия и «черная» ворожба: В восточнославянских поверьях кошка (особенно черная) считалась существом пограничным, связанным как с домовым, так и с нечистой силой. В старинных заговорах и быличках существовали жестокие обряды, где кота мучили или тянули за хвост, чтобы «вытянуть» из нечистого духа ответ, заставить домового показаться или наслать порчу. Занятие это считалось долгим, мрачным и предосудительным — отсюда оттенок бессмысленного и неприятного для всех окружающих затягивания времени.
Ярмарочный балаган: Существовали и шуточные ярмарочные аттракционы и скоморошьи прибаутки (вроде «кошачьего концерта»), где имитировали кошачий вой, нарочно растягивая паузу перед кульминацией выступления, чтобы подогреть публику.
Переносный смысл:
Намеренно или по нерешительности затягивать решение вопроса, испытывая чужое терпение:

Медлить с действием: бесконечно откладывать неизбежное дело, топтаться на месте и тратить время на пустые приготовления.
Томить в разговоре: говорить вокруг да около, делать долгие вступления и паузы, когда собеседник ждет короткого и прямого ответа.