Лететь сломя голову

Прямое значение: нестись верхом или бежать с такой бешеной, неуправляемой скоростью, что падение неизбежно приведет к перелому шеи или разбитой голове.

Исторический контекст: Выражение восходит к древней воинской и охотничьей культуре, а также к конному быту Руси:
Военная кавалерия: В древнерусском и старославянском языке форма «сломя» — это деепричастие совершенного вида (со значением готовности рискнуть жизнью: «сломив голову»). Когда конная дружина или отдельный всадник бросались в отчаянную атаку сквозь строй врага или уходили от погони по пересеченной местности, лошадь гнали во весь опор, не разбирая оврагов, буреломов и ям.
«Сломить» в значении «погубить»: В старинных памятниках письменности глагол сломить часто употреблялся как «погубить», «уничтожить» или «лишить силы» (сравните: сломить сопротивление, сложить голову на поле боя). Фраза изначально описывала крайнюю степень безрассудства, когда человек мчится вперед, рискуя буквально свернуть себе шею.
В народном языке конструкция закрепилась как устойчивая формула для обозначения слепого, неконтролируемого бега, где инстинкт самосохранения полностью отключен.
Переносный смысл: Действовать или передвигаться:
С предельной спешкой: бежать куда-то изо всех сил, торопясь успеть к сроку.
Безрассудно и неосмотрительно: бросаться в дело, не просчитав риски и последствия, очертя голову.