Ашот Маргарян | MATH CODE

Понятие вектора

Вектор — это направленный отрезок. У него есть две характеристики:

- длина (её ещё называют модулем) — то есть размер отрезка;
- направление — куда этот отрезок «смотрит».

Обозначают вектор обычно буквой со стрелочкой сверху: a⃗ или двумя буквами с чертой: AB⃗ (где A — начало, B — конец).

Важно: порядок букв имеет значение — AB⃗ и BA⃗ это разные векторы (противоположно направленные).

Чем вектор отличается от просто отрезка?

Отрезок — это просто «палочка» между двумя точками, у него нет направления. А вектор — это та же палочка, но с указанием, куда она ведёт.

Поэтому вектор AB⃗ и вектор BA⃗ — это не одно и то же: у них одинаковые длины, но противоположные направления.

Длина вектора

Длина (модуль) вектора — это длина соответствующего отрезка. Обозначается |a⃗| или просто a. Длина — всегда неотрицательное число. Вектор нулевой длины называется нулевым вектором (у него направление не определено).

Равенство векторов
Два вектора считаются равными, если они:

- одинаковы по длине,
- одинаковы по направлению (сонаправлены).

При этом неважно, где они расположены на плоскости — важно только направление и длина. То есть векторы можно «переносить» параллельно самим себе, и они от этого не меняются. Это называют «векторы свободные».

Коллинеарные и сонаправленные векторы

- Коллинеарные — векторы, которые лежат на параллельных прямых (или на одной прямой). То есть они «параллельны» друг другу.
- Сонаправленные — коллинеарные векторы, смотрящие в одну сторону.
- Противоположно направленные — коллинеарные, но смотрящие в разные стороны.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Основные операции с векторами

1. Сложение. Есть два удобных правила:

- Правило треугольника: совмещаем начало второго вектора с концом первого, и вектор-сумма идёт от начала первого к концу второго.

- Правило параллелограмма: совмещаем начала векторов, достраиваем до параллелограмма, и сумма — это диагональ из общего начала.

2. Вычитание.

Разность a⃗ − b⃗ — это то же, что a⃗ + (−b⃗), где −b⃗ — вектор, противоположный b⃗ (та же длина, противоположное направление).

Умножение на число. При умножении вектора на число k:

- длина умножается на |k|;
- если k > 0 — направление сохраняется;
- если k < 0 — направление меняется на противоположное;
- если k = 0 — получается нулевой вектор.

Координаты вектора

На плоскости вектор можно задать двумя числами — его координатами. Если вектор идёт из точки A(x₁, y₁) в точку B(x₂, y₂), то его координаты:

AB⃗ = (x₂ − x₁; y₂ − y₁).
То есть «конец минус начало» по каждой координате.

Через координаты удобно считать:

- длину: корень из суммы квадратов координат;
- сложение: складываем соответствующие координаты;
- умножение на число: умножаем каждую координату на это число.

Типичные ошибки

1. Путают вектор и отрезок — забывают про направление.
2. Считают, что AB⃗ = BA⃗ — нет, они противоположны.
3. Думают, что равные векторы должны лежать в одном месте — нет, они могут быть где угодно, лишь бы длина и направление совпадали.
4. Ошибаются в координатах: надо «конец минус начало», а не наоборот.
5. Забывают про нулевой вектор — у него нет направления, но он существует.

Ашот Маргарян | MATH CODE

Дробно-рациональные неравенств

Дробно-рациональное неравенство — это неравенство, в котором есть дробь, содержащая переменную в знаменателе (или в числителе и знаменателе одновременно).

Примеры: 

(х+1)/(Х-3)>0
(х²-4)/(Х+2)≤0

Главное правило
Знаменатель не может быть равен нулю! Это ОДЗ (область допустимых значений).
Поэтому первым делом всегда находим значения, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключаем их.

Метод интервалов — основной способ решения

Алгоритм:

1. Перенесите всё в левую часть, чтобы справа был 0:
P(x)/Q(x) > 0 (или <,≤, ≥)

2. Найдите нули числителя P(x)=0 и нули знаменателя Q(x)=0.

3. Отметьте эти точки на числовой прямой:
   - нули числителя — закрашенные точки (если неравенство нестрогое ≤, ≥) или выколотые (если строгое <, >);
   - нули знаменателя — всегда выколотые (знаменатель ≠ 0).

4. Определите знак дроби на каждом промежутке (подстановкой пробной точки или по кратности корней).

5. Выберите нужные промежутки в соответствии со знаком неравенства.

Важные детали

Кратность корня:

- если корень встречается нечётное число раз — знак при переходе через точку меняется;
- если чётное число раз — знак сохраняется.

Строгие и нестрогие неравенства:

> 0 или < 0 — точки выколотые, промежутки открытые;
≥ 0 или ≤ 0 — нули числителя включаем (закрашиваем), нули знаменателя всё равно выкалываем.

Пример решения

Решим: (х-1)/(х+2)≤0 

Шаг 1. Уже всё в левой части.

Шаг 2. Нули числителя: x=1. Нули знаменателя: x=−2.

Шаг 3. Наносим на ось: x=−2 — выколотая (знаменатель), x=1 — закрашенная (нестрогое неравенство).

Шаг 4. Проверяем знаки на промежутках:
х<-2; берем х=-3 -> (-3-1)/(-3+2)= (-4)/(-1)=4 > 0-> +
-2<x<1; берем х=0 -> (-1)/2  < 0 -> - 
X>1; берм х=2 -> ¼ > 0 -> + 

Шаг 5. Нам нужен знак «−» (≤ 0)
Ответ: x ∈ (-2; 1] 

Типичные ошибки

Забыли выколоть нуль знаменателя — самая частая ошибка.

Умножили на знаменатель, не зная его знака — так делать нельзя (знак неравенства может перевернуться).

Не перенесли всё в одну часть перед применением метода интервалов.

Перепутали кратность — при чётной кратности знак не меняется.

Ашот Маргарян | MATH CODE