Рукой махают или машут?

В разговорной и письменной речи встречаются обе формы: «машут» и «махают». По истории языка глагол махать имеет несколько форм, часть из которых тянется ещё с древнерусского языка и сейчас встречается реже. В современном стандарте чаще употребляется форма «машут», тогда как «махать» как основа встречается реже и чаще звучит в разговорной речи.

Деепричастия от этого глагола образованы двумя вариантами: «маша рукой» и «махая рукой». Оба варианта допустимы и закреплены словарями; предпочтение в тексте зависит от стиля: книжный стиль может ориентироваться на более «классическую» форму, разговорный — на более естественные варианты.

Итак, оба варианта допустимы, но различаются по восприятию стиля: «машут» считается нормой в литературной речи, «махать/махают» — более разговорная линия. При выборе формы лучше придерживаться единого стиля в пределах одного текста.