Корни целочисленных многочленов складываются в ожерелья и спиральные скопления. В проекте Харрисса, Стэндж и Треттела эти «звёздные пейзажи» связывают геометрию с точностью приближения чисел.
Для конечной картинки выбирают область целочисленных коэффициентов, вычисляют корни и рисуют диски. Их гиперболические радиусы уменьшаются с ростом |Δ|^(1/n), где Δ есть дискриминант минимального многочлена, n его степень. Размер точки тем самым отражает арифметическую сложность числа.
Происхождение ожерелий особенно ясно для квадратных многочленов. Умножение всех коэффициентов на ненулевую константу не меняет корни, поэтому рассматривают классы пропорциональных троек. Для действительных многочленов с отрицательным дискриминантом эти классы образуют одну модель гиперболической плоскости. Корни с положительной мнимой частью образуют другую, верхнюю полуплоскость.
Квадратная формула является изометрией между ними, то есть сохраняет гиперболические расстояния. Плоскости через начало координат, заданные рациональными линейными условиями на коэффициенты, переходят в рациональные геодезические. В верхней полуплоскости геодезические выглядят как вертикали и полуокружности, ортогональные действительной оси. Так решётка коэффициентов превращается в ожерелья. Симметрию полного квадратичного пейзажа задаёт модульная группа PSL(2,Z).
У кубического многочлена с действительными коэффициентами и недействительными корнями есть сопряжённая пара и действительный корень. Верхний корень задаёт точку гиперболической плоскости, действительный задаёт направление из неё к границе. В проективной постановке, допускающей корень на бесконечности, получается единичное касательное расслоение, пространство точек с направлениями. Кубическая формула связывает его описания через коэффициенты и корни. Плоский рисунок забывает направление, поэтому целое семейство может схлопнуться в точку. Цвет или трёхмерная модель сохраняют дополнительную информацию.
Арифметический вопрос состоит в цене близости. Пусть α лежит в верхней полуплоскости и не является квадратичным числом. Для квадратичных приближений β рассматривают
d_hyp(α,β) ≤ arcosh(1+K/|Δβ|^k).
Здесь Δβ есть дискриминант минимального целочисленного многочлена, arcosh есть обратный гиперболический косинус. При k=3/2 бесконечно много приближений существует для любого K>0. Если α лежит на рациональной геодезической, вдоль неё существует бесконечно много приближений с k=2 и некоторой константой Kα>0. Этим геометрия объясняет повышенную насыщенность ожерелий. Для алгебраических целей ограничения на улучшение показателей получают с помощью теоремы Шмидта о подпространствах.
Изображения привели от визуального вопроса к арифметическим теоремам и новым открытым задачам.
Обзор проекта https://stevejtrettel.site/research/algebraic-starscapes/
Статья https://arxiv.org/abs/2008.07655
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#ТеорияЧисел #ГиперболическаяГеометрия #Многочлены #Приближения
Для конечной картинки выбирают область целочисленных коэффициентов, вычисляют корни и рисуют диски. Их гиперболические радиусы уменьшаются с ростом |Δ|^(1/n), где Δ есть дискриминант минимального многочлена, n его степень. Размер точки тем самым отражает арифметическую сложность числа.
Происхождение ожерелий особенно ясно для квадратных многочленов. Умножение всех коэффициентов на ненулевую константу не меняет корни, поэтому рассматривают классы пропорциональных троек. Для действительных многочленов с отрицательным дискриминантом эти классы образуют одну модель гиперболической плоскости. Корни с положительной мнимой частью образуют другую, верхнюю полуплоскость.
Квадратная формула является изометрией между ними, то есть сохраняет гиперболические расстояния. Плоскости через начало координат, заданные рациональными линейными условиями на коэффициенты, переходят в рациональные геодезические. В верхней полуплоскости геодезические выглядят как вертикали и полуокружности, ортогональные действительной оси. Так решётка коэффициентов превращается в ожерелья. Симметрию полного квадратичного пейзажа задаёт модульная группа PSL(2,Z).
У кубического многочлена с действительными коэффициентами и недействительными корнями есть сопряжённая пара и действительный корень. Верхний корень задаёт точку гиперболической плоскости, действительный задаёт направление из неё к границе. В проективной постановке, допускающей корень на бесконечности, получается единичное касательное расслоение, пространство точек с направлениями. Кубическая формула связывает его описания через коэффициенты и корни. Плоский рисунок забывает направление, поэтому целое семейство может схлопнуться в точку. Цвет или трёхмерная модель сохраняют дополнительную информацию.
Арифметический вопрос состоит в цене близости. Пусть α лежит в верхней полуплоскости и не является квадратичным числом. Для квадратичных приближений β рассматривают
d_hyp(α,β) ≤ arcosh(1+K/|Δβ|^k).
Здесь Δβ есть дискриминант минимального целочисленного многочлена, arcosh есть обратный гиперболический косинус. При k=3/2 бесконечно много приближений существует для любого K>0. Если α лежит на рациональной геодезической, вдоль неё существует бесконечно много приближений с k=2 и некоторой константой Kα>0. Этим геометрия объясняет повышенную насыщенность ожерелий. Для алгебраических целей ограничения на улучшение показателей получают с помощью теоремы Шмидта о подпространствах.
Изображения привели от визуального вопроса к арифметическим теоремам и новым открытым задачам.
Обзор проекта https://stevejtrettel.site/research/algebraic-starscapes/
Статья https://arxiv.org/abs/2008.07655
Наши каналы
MAX · Telegram · Дзен
#ТеорияЧисел #ГиперболическаяГеометрия #Многочлены #Приближения
Просмотры: 10