Родился в селе Полянки Ульяновской губернии в крестьянской семье. В 1930 году вместе с родителями переехал на Кольский полуостров. Его отец работал лесорубом, а мать — уборщицей и сторожем. В 1939 году мать умерла, и Алексею пришлось рано начать трудовую жизнь.
В 1943 году, в возрасте 16 лет, был призван в армию. Участник Великой Отечественной войны, награждён орденом Отечественной войны II степени и медалями.
Окончил исторический факультет Ленинградского государственного университета (в 1956 году) и Высшую партийную школу при Ленинградском обкоме КПСС.
До 1963 года работал на Мончегорском радио, в горкомах ВЛКСМ и КПСС, избирался секретарём Мончегорского райкома партии. С 1963 года и до конца жизни его деятельность была связана с Мурманским государственным педагогическим институтом (ныне — Мурманский арктический университет), где он прошёл путь от старшего преподавателя до профессора, заведующего кафедрой отечественной истории.
Сфера научных интересов Киселёва — история Европейского Севера России, в первую очередь Кольского полуострова. Он является автором множества книг и научных работ, посвящённых истории освоения Севера, краеведению и истории коренного народа региона — саамов. Среди его известных трудов — «Советские саамы: история, экономика, культура» и «История Мурманской области». Его исследования внесли значительный вклад в изучение региональной истории и сохранение культурного наследия Русского Севера.
Алексей Алексеевич Киселёв скончался 4 июня 2024 года в Мурманске, не дожив до своего 98-летия несколько месяцев.