Оптимизируется такая ситуация за счёт возвращения ясных границ.

 
Врачу полезно в начале консультации обозначать её структуру и время, а в конце - подвести итог и зафиксировать окончание встречи или точку, с которой начнётся следующая; при необходимости отметить, что чувства пациента видны, но установленное на приём время вышло.
Если нет возможности прервать встречу без задержки следующего приёма, врачу (или администратору, если такой есть) стоит выйти и сообщить о сдвиге времени очереди.


Ожидающего человека важно предупредить о задержке, заверить в том, что о нём помнят, дать понятный ориентир по времени и принести извинения.

Я описала ситуацию на примере приёма у врача, но наблюдать подобное можно в паспортном столе, в визовом центре, МФЦ.  

Уверена, вы легко найдёте примеры из жизни. В какой роли были вы? Как справлялись?