От логики к множествам: как меняется язык математики

Четыре недели мы говорили на языке математической логики: аксиомы, правила вывода, кванторы. Но логика — это инструмент. На чем строится сама математика? Ответ: на теории множеств.
Математическое ядро:
В логике первого порядка мы оперировали объектами и их свойствами. В теории множеств все объекты — это множества. Даже числа.
Как построить натуральные числа из множеств?
0 = ∅ (пустое множество)
1 = {∅} = {0}
2 = {∅, {∅}} = {0, 1}
3 = {0, 1, 2}
n+1 = n ∪ {n}
Каждое число — это множество всех предыдущих чисел!
Перевод с логики на язык множеств:
Логическое «И» (∧) → пересечение множеств (∩)
Логическое «ИЛИ» (∨) → объединение множеств (∪)
Логическое «НЕ» (¬) → дополнение множества
Квантор ∀ → «для всех элементов множества»
Квантор ∃ → «существует элемент в множестве»
Зачем это нужно?
Теория множеств — это универсальный фундамент. Вся математика (числа, функции, пространства, структуры) может быть построена из множеств и отношений между ними. В ноябре мы погрузимся в этот мир.