Двугранный угол

Двугранный угол — это фигура в пространстве, образованная двумя полуплоскостями, выходящими из одной прямой. Эта общая прямая называется ребром двугранного угла, а полуплоскости — его гранями.

Важно: это не угол на плоскости. Обычный угол — две полупрямые из точки. Двугранный — две полуплоскости из прямой.

Как измерить двугранный угол

Необходимо взять любую точку на ребре и проводим в каждой грани перпендикуляр к ребру (луч, лежащий в грани и перпендикулярный ребру). Угол между этими двумя перпендикулярами и есть линейный угол двугранного угла — он и служит мерой двугранного угла.

Ключевой факт: этот угол не зависит от того, какую точку на ребре мы взяли.

Виды двугранных углов

Острый — меньше 90°.
Прямой — ровно 90°. Это очень важный случай: грани перпендикулярны друг другу.
Тупой — больше 90°, но меньше 180°.
Развёрнутый — 180°: полуплоскости дополняют друг друга до одной плоскости.

Где это встречается в задачах:

1. Угол между плоскостями. Когда говорят «угол между двумя плоскостями», имеют в виду как раз двугранный угол между ними (или его линейный угол). В стереометрии это одна из самых частых тем: угол между плоскостями граней пирамиды, призмы, между сечением и гранью.

2. Двугранный угол при ребре многогранника. У куба все двугранные углы при рёбрах прямые (90°). У правильного тетраэдра — острые (около 70,5°). У правильной пирамиды угол при основании и угол при боковом ребре — разные двугранные углы.

3. Как искать на практике. Находите ребро, берёте удобную точку на нём, опускаете перпендикуляры в обе грани и считаете плоский угол между ними — по теореме косинусов, через координаты или через подобие треугольников.

4. Перпендикулярность плоскостей. Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда двугранный угол между ними прямой. Это определение перпендикулярности плоскостей.

Ашот Маргарян | MATH CODE