Иррациональные уравнения

Главная сложность и одновременно главное правило этой темы — избавление от корней путем возведения в степень, но при этом нужно внимательно следить за областью допустимых значений (ОДЗ) и проверкой корней.

1. Что такое иррациональное уравнение?

Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня (или под дробным показателем степени, что одно и то же).

Примеры:

- √{x} = 4
- √{x² - 5x} = 2 
- √{x+1} + √{x-2} = 3 
- ³√{x-1} = 2 (корень третьей степени — тоже иррациональное)

Не примеры:

-x² + √{5} = 0 — здесь корень только из числа, а не из (x).
- √{5} * x = 10  — переменная не под корнем.

 2. Главное правило: возведение в степень

Основной метод решения — возвести обе части уравнения в одну и ту же степень, чтобы убрать корень.

Если ^n√f(x) = g(x), то возводим в  n-ю степень: f(x) = g(x)^n

 3. Почему появляются посторонние корни?

Это ключевой момент темы. Возведение в четную степень (квадрат, четвёртую и т.д.) — не равносильное преобразование. Оно может превратить ложное равенство в истинное.
Пример-ловушка:
√{x} = -3
Слева корень — число неотрицательное. Справа — отрицательное. Это уравнение не имеет решений. Но если возвести в квадрат:
x = 9
Получили «корень»  x = 9, который на самом деле посторонний. Проверка:√{9} = 3 ≠ -3.

Вывод: При возведении в четную степень обязательна проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение.

 4. Область допустимых значений (ОДЗ)

Подкоренное выражение чётного корня должно быть неотрицательным:
√{f(x)} → f(x) ≥ 0

Если в уравнении несколько корней, ОДЗ — это пересечение всех условий.

Иногда ОДЗ помогает отсеять решения еще до проверки — если найденный корень не входит в ОДЗ, он точно посторонний.

5. Основные методы решения

1. Уединение корня и возведение в квадрат
2. Замена переменной
3. Уравнения с двумя корнями
4. Корни нечетной степени

С корнями нечётной степени (3-й, 5-й и т.д.) всё проще: возведение в четную степень — равносильное преобразование. Проверка и ОДЗ не нужны (кроме ограничений на знаменатели, если они есть).

6. Типичные ошибки

1. Забыли про ОДЗ.Подкоренное выражение должно быть ≥0.

2. Не проверили корни. Возведение в четную степень может дать посторонние корни.

3. Не учли знак правой части. Если √{f(x)} = g(x), то обязательно  g(x) ≥ 0.

4. Возведение в квадрат суммы. Помните:  (a+b)² = a² + 2ab + b², а не (a² + b²).

5. Потеря корней при замене. Если t = √f(x), то t ≥ 0  — отрицательные значения t отбрасываем.

Ашот Маргарян | MATH CODE