Биквадратное уравнение 🙃

Это уравнение, которое легко сводится к квадратному. Это одна из самых простых и любимых тем в школьной алгебре, потому что после одной замены переменной всё решается стандартными формулами.

Что это такое?

Определение: Биквадратным называется уравнение вида:
ax⁴ + bx² + c = 0
где a ≠ 0, а  a, b, c  — любые действительные числа.

Ключевая особенность:
Здесь есть только четвертая степень (x⁴), вторая степень (x²) и свободный член. Нет кубов (x³) и просто  x  в первой степени. Именно это позволяет применить метод замены.

Название происходит от латинских слов bi (два) и quadratus (квадрат), то есть «дважды квадратное».

 Метод решения (пошагово)

Чтобы решить биквадратное уравнение, нужно сделать замену переменной.

Шаг 1. Вводим замену.
Обозначим  x² = t. При этом важно помнить, что t  не может быть отрицательным, так как квадрат любого действительного числа  ≥ 0. То есть t ≥ 0 .

Шаг 2. Превращаем в квадратное.
Так как  x⁴ = (x²)² = t², уравнение принимает вид: at² + bt + c = 0

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение.
Находим дискриминант  D = b² - 4ac и корни t_1  и t_2  (если они есть).

Шаг 4. Делаем обратную замену.
Возвращаемся к переменной  x . Для каждого найденного  t, которое удовлетворяет условию t ≥ 0 , решаем уравнение: x² = t → x = ±√t

Шаг 5. Записываем ответ.
Собираем все найденные корни x .

Разбор случаев (сколько корней может быть?)

Количество корней биквадратного уравнения зависит от корней квадратного уравнения ( at² + bt + c = 0 ).

1.  Оба корня ( t_1, t_2 ) положительные:
Тогда  (x² = t_1 ) даёт 2 корня (±√t_1) и  (x² = t_2)  даёт ещё 2 корня (±√t_2).
Итого: 4 корня.

2.  Один корень положительный, другой отрицательный (или равный нулю):
Отрицательный корень t мы отбрасываем (нельзя извлечь корень из отрицательного числа в действительных числах).
Итого: 2 корня (от положительного  t).

3.  Оба корня отрицательные:
Оба отбрасываются.
Итого: 0 корней (нет решений).

4.  Корень один D = 0 и он положительный:
x² = t  дает 2 корня.
Итого: 2 корня.

5.  Корень один D = 0 и он равен 0:
x² = 0 → x = 0 .
Итого: 1 корень.


Важные нюансы

1.  Всегда проверяйте знак  t . Это самая частая ошибка. Если вы нашли  t = -3 , вы не можете писать  x = ±√(-3). Такого корня в действительных числах нет.

2.  Уравнение может быть неполным.
Если  c = 0 (например,  x⁴ - 9x² = 0 , можно не делать замену, а просто вынести x² за скобки: x²(x² - 9) = 0. Это быстрее.
Если  b = 0 (например,  x⁴ - 16 = 0, можно решать как разность квадратов: (x² - 4)(x² + 4) = 0.

3.  Замена работает и для других уравнений. Если вы видите уравнение вида ax⁶ + bx³ + c = 0, это тоже биквадратное по сути, только замена будет  x³ = t. Главное — увидеть, что одна степень ровно в два раза больше другой.

Итог

Биквадратное уравнение — это «матрёшка». Снаружи сложное уравнение четвёртой степени, внутри — простое квадратное. Главное — сделать замену x² = t, не забыть про условие  t ≥ 0 и аккуратно вернуться к исходной переменной.

Ашот Маргарян | MATH CODE