Дробно-рациональные неравенств

Дробно-рациональное неравенство — это неравенство, в котором есть дробь, содержащая переменную в знаменателе (или в числителе и знаменателе одновременно).

Примеры: 

(х+1)/(Х-3)>0
(х²-4)/(Х+2)≤0

Главное правило
Знаменатель не может быть равен нулю! Это ОДЗ (область допустимых значений).
Поэтому первым делом всегда находим значения, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключаем их.

Метод интервалов — основной способ решения

Алгоритм:

1. Перенесите всё в левую часть, чтобы справа был 0:
P(x)/Q(x) > 0 (или <,≤, ≥)

2. Найдите нули числителя P(x)=0 и нули знаменателя Q(x)=0.

3. Отметьте эти точки на числовой прямой:
   - нули числителя — закрашенные точки (если неравенство нестрогое ≤, ≥) или выколотые (если строгое <, >);
   - нули знаменателя — всегда выколотые (знаменатель ≠ 0).

4. Определите знак дроби на каждом промежутке (подстановкой пробной точки или по кратности корней).

5. Выберите нужные промежутки в соответствии со знаком неравенства.

Важные детали

Кратность корня:

- если корень встречается нечётное число раз — знак при переходе через точку меняется;
- если чётное число раз — знак сохраняется.

Строгие и нестрогие неравенства:

> 0 или < 0 — точки выколотые, промежутки открытые;
≥ 0 или ≤ 0 — нули числителя включаем (закрашиваем), нули знаменателя всё равно выкалываем.

Пример решения

Решим: (х-1)/(х+2)≤0 

Шаг 1. Уже всё в левой части.

Шаг 2. Нули числителя: x=1. Нули знаменателя: x=−2.

Шаг 3. Наносим на ось: x=−2 — выколотая (знаменатель), x=1 — закрашенная (нестрогое неравенство).

Шаг 4. Проверяем знаки на промежутках:
х<-2; берем х=-3 -> (-3-1)/(-3+2)= (-4)/(-1)=4 > 0-> +
-2<x<1; берем х=0 -> (-1)/2  < 0 -> - 
X>1; берм х=2 -> ¼ > 0 -> + 

Шаг 5. Нам нужен знак «−» (≤ 0)
Ответ: x ∈ (-2; 1] 

Типичные ошибки

Забыли выколоть нуль знаменателя — самая частая ошибка.

Умножили на знаменатель, не зная его знака — так делать нельзя (знак неравенства может перевернуться).

Не перенесли всё в одну часть перед применением метода интервалов.

Перепутали кратность — при чётной кратности знак не меняется.

#математика

Good Edu | Хорошее образование