Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число q (знаменатель прогрессии).

Бесконечно убывающая — это такая прогрессия, у которой |q| < 1 (знаменатель по модулю меньше единицы). Тогда каждый следующий член по модулю всё меньше и меньше, и члены «стремятся к нулю».
Пример: 8, 4, 2, 1, 0,5, 0,25, … Здесь q = 1/2.

Главная формула
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S = b₁ / (1 − q), где b₁ — первый член, а |q| < 1.

Это и есть ответ на вопрос «чему равна сумма всех бесконечного числа членов». Удивительно, но бесконечная сумма может быть конечным числом — именно потому, что члены быстро уменьшаются.

Откуда берётся формула (простая логика)

Сумма первых n членов геометрической прогрессии:
Sₙ = b₁ · (1 − qⁿ) / (1 − q).

Когда n стремится к бесконечности, а |q| < 1, то qⁿ стремится к нулю (ведь число меньше единицы, возводимое в большую степень, становится крошечным). Поэтому qⁿ «исчезает», и остаётся:
S = b₁ / (1 − q).

Важное условие

Формула работает только при |q| < 1. Если |q| ≥ 1, члены не убывают, и конечной суммы нет (прогрессия расходится). Это надо всегда проверять перед применением формулы.
Также помни: q может быть отрицательным (например, q = −1/2). Тогда члены чередуют знак, но условие |q| < 1 всё равно позволяет считать сумму по той же формуле.


Типичные ошибки

Применяют формулу без проверки |q| < 1 — при |q| ≥ 1 суммы нет.
Путают b₁ и q — q находится делением второго члена на первый.
Забывают, что q может быть отрицательным — формула та же, но следи за знаками.
Считают, что бесконечная сумма обязательно бесконечна — нет, при |q| < 1 она конечна.
Ошибка в знаменателе: именно (1 − q), а не (q − 1).

#математика

Good Edu | Хорошее образование