Понятие первообразной 🧐

Что это такое?

Первообразная для функции f(x) на некотором промежутке — это такая функция F(x), производная которой равна f(x) для всех x из этого промежутка.

Математическая запись:
F'(x) = f(x)

У функции бесконечно много первообразных, и все они отличаются друг от друга на постоянную величину
C

Поэтому общий вид первообразной записывают так:

F(x) + C

где C — любая постоянная (константа интегрирования).

Основное свойство первообразной

Формулировка:

Если F(x) — первообразная для функции f(x) на промежутке, то любая другая первообразная для f(x) на этом же промежутке имеет вид F(x) + C, где C — произвольная постоянная.

Доказательство (кратко):

Пусть F(x) и G(x) — две первообразные для f(x). Это значит, что F'(x) = f(x) и G'(x) = f(x).

Рассмотрим их разность: H(x) = F(x) - G(x).

Найдем производную: H'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0.

Если производная функции равна нулю на промежутке, то сама функция постоянна на этом промежутке.

Значит, H(x) = C, то есть F(x) - G(x) = C, или G(x) = F(x) + C.

Геометрический смысл основного свойства:

Графики всех первообразных данной функции получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Oy. Это как одно и то же «дерево», но сдвинутое вверх или вниз.

Физический и геометрический смысл

Физический смысл:

Если производная — это скорость, то первообразная — это путь (или накопленная величина).

Пример: Если v(t) — скорость тела, то первообразная S(t) — это пройденный путь. Константа C здесь означает начальное положение тела.

Геометрический смысл:

Первообразная — это площадь под графиком функции.
Точнее, если взять определенный интеграл (предел суммы площадей бесконечно тонких прямоугольников), то он равен разности значений первообразной на концах отрезка.

#математика

Good Edu | Хорошее образование