Анастасия Фурасьева|Математика легко

Дисперсия, стандартное отклонение и вывод

Продолжаем тему дискретных случайных величин. В прошлый раз мы разобрали математическое ожидание -среднее значение, вокруг которого группируются результаты. Теперь встаёт следующий вопрос.

💡Две случайные величины могут иметь одинаковое ожидание, но вести себя совершенно по-разному. Одна почти всегда выдаёт значения близко к среднему, а другая скачет от очень маленьких до очень больших. Как измерить этот разброс?

Для этого вводят дисперсию.

Сначала пример

Представьте две лотереи.

🟣Первая лотерея. Вы с вероятностью 0.5 выигрываете 0 рублей и с вероятностью 0.5 выигрываете 1000 рублей.

🟣Вторая лотерея. Вы с вероятностью 0.5 выигрываете 499 рублей и с вероятностью 0.5 выигрываете 501 рубль.

Посчитаем ожидание для обеих.

Первая: 0 × 0.5 + 1000 × 0.5 = 500.
Вторая: 499 × 0.5 + 501 × 0.5 = 500.

Ожидание одинаковое -500 рублей. Но ощущение от лотерей разное. В первой результат непредсказуем — либо ничего, либо тысяча. Во второй результат почти гарантированно около пятисот. Нужно число, которое измерит эту разницу.

Мы хотим понять, насколько сильно значения в среднем отклоняются от ожидания. Начнём с простого.

✔️Возьмём первую лотерею. Ожидание 500. Смотрим на каждое значение и считаем, насколько оно отклонилось от ожидания.

Для 0: отклонение = 0 − 500 = −500
Для 1000: отклонение = 1000 − 500 = 500

Теперь попробуем усреднить эти отклонения. Умножим каждое на его вероятность и сложим.

(−500) × 0.5 + 500 × 0.5 = −250 + 250 = 0

Получился ноль. И так будет всегда. Потому что отрицательные и положительные отклонения гасят друг друга. Это особенность самого определения ожидания -оно находится ровно в центре, поэтому сумма отклонений в обе стороны одинакова.

Значит, просто усреднять отклонения нельзя. Нужно убрать минусы. Есть два способа: взять модуль или возвести в квадрат. В математике пошли по второму пути. Квадраты удобнее для дальнейших вычислений.

✔️Поэтому мы делаем так. Сначала возводим каждое отклонение в квадрат. Потом умножаем на вероятность. Потом складываем.

Для первой лотереи.

Отклонение для 0: −500. Квадрат: (−500)² = 250000.

Отклонение для 1000: 500. Квадрат: 500² = 250000

Теперь умножаем на вероятности и складываем:

250000 × 0.5 + 250000 × 0.5 = 125000 + 125000 = 250000

Это число и есть дисперсия. Оно показывает средний квадрат отклонения от ожидания.

🤍Считаем для второй лотереи. Мат ожидание тоже 500

Отклонение для 499: 499 − 500 = −1. Квадрат: 1

Отклонение для 501: 501 − 500 = 1. Квадрат: 1.

Умножаем на вероятности и складываем:

1 × 0.5 + 1 × 0.5 = 0.5 + 0.5 = 1
Дисперсия равна 1.

Сравните: 250000 против 1. Теперь у нас есть число, которое показывает, насколько сильно различаются разбросы в двух лотереях.

Общая формула

Теперь соберём всё вместе. Дисперсия обозначается D(X). Формула выглядит так.

D(X) = (x₁ − E)² × p₁ + (x₂ − E)² × p₂ + ... + (xₙ − E)² × pₙ
Где xᵢ — возможные значения, E — математическое ожидание, pᵢ — вероятности.

Словами: берём каждое значение, вычитаем ожидание, возводим в квадрат, умножаем на вероятность этого значения, всё складываем.

Стандартное отклонение

У дисперсии есть одна неудобная особенность. Она измеряется в квадратных единицах.
Если выигрыш в рублях, то дисперсия в квадратных рублях. Это трудно интерпретировать. Например, в первой лотерее дисперсия 250000 квадратных рублей. Много это или мало -непонятно.

Поэтому вводят ещё одну величину -стандартное отклонение. Это просто квадратный корень из дисперсии.

σ(X) = √D(X)

Для первой лотереи: σ = √250000 = 500 рублей. Для второй лотереи: σ = √1 = 1 рубль.

Вот теперь понятно. В первой лотерее значения в среднем отклоняются от ожидания на 500 рублей. Во второй — на 1 рубль.

Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама величина, поэтому его удобно использовать.

В следующий раз перейдём к непрерывным случайным величинам.