Claude Fable, вероятно, нашла контрпример к гипотезе Якобиана — одной из самых известных открытых задач в алгебре.

Представьте формулу, которая берёт несколько чисел на входе и преобразует их в другой набор чисел. Чтобы преобразование было обратимым, каждому результату должен соответствовать ровно один исходный набор: иначе по ответу нельзя понять, какие именно данные были на входе.

Гипотеза Якобиана утверждала, что для полиномиальных преобразований достаточно проверить их локальное поведение. Если якобиан — величина, описывающая изменение результата при небольшом изменении входа, — всюду равен одной и той же ненулевой константе, то преобразование должно быть обратимым целиком.

Проще говоря: если в окрестности каждой точки формула ничего не сжимает, не разрывает и не «склеивает», то предполагалось, что она не может склеивать разные точки и в глобальном масштабе.

Однако опубликованный при помощи Claude Fable контрпример, как утверждается, удовлетворяет условию гипотезы: его якобиан везде ненулевой и постоянный. При этом несколько разных входных значений дают один и тот же результат. Значит, однозначно восстановить вход невозможно, а преобразование не является обратимым.

Если вычисления подтвердятся, это означает, что гипотеза, остававшаяся открытой с 1939 года, была просто неверна. Причём контрпример можно проверить прямыми вычислениями — ждать многолетнего поиска доказательства уже не требуется. Формальная проверка результата в Lean также уже готовится.

О находке рассказал математик и сотрудник Anthropic Левент Алпоге: «Спасибо моему близкому другу Akhil за вопрос и моему другому близкому другу Fable за работу во время финала чемпионата мира».

Кажется, мем про то, что языковые модели способны лишь повторять уже известное, снова немного устарел 🙂