«Me, she had dispensed from joining the group…»

...she had dispensed from — это Past Perfect (прошедшее совершённое время). Had + третья форма глагола.

Оно показывает, что действие («она освободила меня от необходимости присоединяться») произошло до другого действия в прошлом (до того, как она это сказала: saying…). Past Perfect помогает выстроить чёткую хронологию событий в рассказе.

dispense - используется в значении «освободить, избавить от чего‑либо». Конструкция to dispense someone from doing something - «освободить кого‑то от необходимости делать что‑то».

joining the group — герундий после предлога from. Буквально - она освободила меня от присоединения к группе.

«…saying, ‘She regretted to be under the necessity of keeping me at a distance…’»

She regretted — прошедшее время (Past Simple) - она сожалела.

to be under the necessity of — устойчивая фраза - быть вынужденной, находиться в положении, когда необходимо.

necessity [nɪˈsesɪtɪ] сущ. необходимость, нужда. 

keeping me at a distance — герундий keeping + объект + обстоятельство - Держать меня на расстоянии, не подпускать близко, отстранять.

«…but that until she heard from Bessie, and could discover by her own observation, that I was endeavouring in good earnest to acquire a more sociable and childlike disposition…»

until she heard from Bessie — пока она не услышит от Бесси. Hear from someone - получить от кого‑то весточку, услышать новости от кого‑то.

could discover by her own observation — смогла бы убедиться на основании собственных наблюдений. By observation - путём наблюдения, на основании наблюдений.

I was endeavouring in good earnest — Past Continuous (прошедшее длительное время).

Подчёркивает процесс, длительное действие в прошлом - я всерьёз старалась / прилагала усилия (продолжающееся действие). 

endeavour - стараться, прилагать усилия. In good earnest - всерьёз, по‑настоящему. То есть «я всерьёз стараюсь».

acquire a disposition — приобрести (развить в себе) характер/наклонность. 

Disposition - нрав, склад характера, склонность.

more sociable and childlike — более общительный и по‑детски непосредственный. 

Childlike (в отличие от childish) имеет положительный оттенок: «по‑детски искренний, простой, естественный».

«…a more attractive and sprightly manner—something lighter, franker, more natural, as it were…»

... a more attractive and sprightly manner — более привлекательная и живая манера (поведения).

attractive — привлекательный, обаятельный; здесь про манеру — то есть «располагающая к себе».

sprightly — бодрый, энергичный, живой, оживлённый; часто про поведение, лёгкость, подвижность.

manner — манера, способ держаться, поведение.

something lighter, franker, more natural — что‑то более лёгкое, искреннее, естественное. Сравнительные степени (lighter, franker) подчёркивают, чего именно не хватает Джейн по мнению миссис Рид.

as it were — так сказать, если можно так выразиться. Это вводная фраза, смягчающая формулировку.

«…she really must exclude me from privileges intended only for contented, happy, little children.’»

must exclude — должна исключить/отстранить. Здесь must передаёт вынужденность.

privileges intended only for… — привилегии, предназначенные только для…. Intended for - «предназначенные для».

contented, happy, little children — довольные, счастливые, маленькие дети. Прилагательные описывают, кто имеет право на эти привилегии.

«Меня она освободила от необходимости присоединяться к остальным и сказала: „Она сожалеет, что вынуждена держать меня на расстоянии; но пока она не услышит от Бесси и не сможет сама убедиться, что я всерьёз стараюсь стать более общительной и непосредственной, приобрести более привлекательную и живую манеру поведения — что‑то более лёгкое, искреннее, более естественное, так сказать, — она действительно вынуждена лишить меня тех привилегий, которые предназначены лишь для довольных, счастливых маленьких детей“».